Twierdzenie Girsanova

[Iza8723]

Korzystając z twierdzenia Girsanova oblicz :
\(\displaystyle{ E(\cos^{2}(W_{t}+t)\times \sin(W(t)+t)\times e^{-W(1)} )}\), gdzie \(\displaystyle{ W}\) to proces Wienera oraz \(\displaystyle{ t \in [0,1].}\)

[Tmkk]

A w którym momencie się zacinasz? Trzeba użyć twierdzenia Girsanova tak, aby \(\displaystyle{ W_t+t}\) zrobił się procesem Wienera na przestrzeni ze zmienioną miarą.

[Iza8723]

A w którym momencie się zacinasz? Trzeba użyć twierdzenia Girsanova tak, aby \(\displaystyle{ W_t+t}\) zrobił się procesem Wienera na przestrzeni ze zmienioną miarą.

Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ E(\cos ^{2}(W(t)+t) \cdot \sin(W(t)+t) \cdot e^{-W(1)} )=E(\cos ^{2}(W(t)+t) \cdot \sin(W(t)+t) \cdot E^{-W(1)- \frac{1}{2} }\cdot e^{\frac{1}{2}} )}\)
I wtedy wartość oczekiwana względem miary \(\displaystyle{ Q}\) :
\(\displaystyle{ E_{Q}(\cos ^{2}(W_{Q}(t)) \cdot \sin(W_{Q}(t)) \cdot e^{\frac{1}{2}} )}\)
I wiem, że \(\displaystyle{ W_{Q}(t)}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0,t)}\) ale dalej nie wiem co zrobić. Jakby był sam sinus to można byłoby chyba skorzystać z tego, że jest to funkcja nieparzysta, więc wartość oczekiwana \(\displaystyle{ 0}\), ale tutaj mamy też cosinus w kwadracie

[Tmkk]

No i pięknie zamieniłaś miarę.

Dalej dobrze mówisz, ta średnia to \(\displaystyle{ 0}\) i cosinus nie przeszkadza, bo funkcja \(\displaystyle{ \cos^2{(x)}\sin{(x)}}\) wciąż jest nieparzysta (i całki z części dodatniej oraz ujemnej istnieją i są skończone, więc się zjadają).