Rozkład ciągły

[Niepokonana]

Proszę mi powiedzieć, czy dobrze myślę.
Mamy rozkład ciągły i jakąś taką funkcję bodajże funkcję gęstości: \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4} &\text{dla } x\in [0;5] \\ 0 &\text{w pp.} \end{cases} }\). I trzeba policzyć prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ x\in [1.1;4.9]}\). Czy tutaj wystarczy podzielić długości przedziałów przez siebie? Co by było, gdyby tam zamiast jednej czwartej była jakaś funkcja np. liniowa?

[Tmkk]

Ta funkcja nie może być gęstością zmiennej losowej, bo się nie całkuje do jedynki. Może tam powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) albo przedział \(\displaystyle{ x \in [0,4]}\)?

Ogólnie, to, że \(\displaystyle{ f}\) jest gęstością zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) oznacza mniej więcej tyle, że mamy równość \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X \in A) = \int_A f(x)\mbox{d}x}\) dla odpowiednio niebrzydkich zbiorów \(\displaystyle{ A}\).

W tym przypadku będzie tak, jak mówisz i to intuicyjnie można stwierdzić (tak, jak to zrobiłaś) albo można policzyć \(\displaystyle{ \int_{1.1}^{4.9} f(x)\mbox{d}x}\). Jeśli jest inna gęstość, to będzie inna całka.

[Niepokonana]

Ano faktycznie. Tam był przedział od jedynki do piątki. Aaa dobra, czyli w ogólności liczy się całkę (my na kolokwium na razie mamy raczej niebrzydkie zbiory), a w szczególności liczy się to poprzez podzielenie. Dzięki.

[Tmkk]

Tak, w tej konkretnej szczególności tak. Bo ten rozkład, który podałaś, to rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [0,4]}\) czyli intuicyjnie każdy punkt ma takie same prawdopodobieństwo na losowanie. Dlatego, prawdopodobieństwo, że wylosujemy punkt z jakiegoś przedziału \(\displaystyle{ A \subset [1,5]}\) to \(\displaystyle{ \frac{|A|}{4}}\). Wynika to też z całki:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X \in A) = \int_{A} f(x)\mbox{d}x = \frac{1}{4}\int_{A} 1\mbox{d}x = \frac{1}{4} |A|}\),

dla \(\displaystyle{ A \subset [1,5]}\) oczywiście.