Uwagi: \(\displaystyle{ Alt (\emptyset) = 0 }\)
2. Rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-1)(y-1)(z-1) = xyz-1 \\ (x-2)(y-2)(z-2) = xyz-2. \end{cases}}\)
3. Baterie i lampa; Jest \(\displaystyle{ 2n+1}\) baterii w tym \(\displaystyle{ n}\) wadliwych i \(\displaystyle{ n+1}\) sprawnych, i jest lampa, która aby działała potrzebuje dwie sprawne baterie. Ile prób z bateriami należy wykonać w najgorszym razie by mieć pewność, że lampa będzie działać ?
Ten sam problem gdy jest \(\displaystyle{ 2n}\) baterii; tyle samo sprawnych co wadliwych.
4. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+...}}}} } = 3.}\)
5. Dla jakich \(\displaystyle{ m, n}\) liczba \(\displaystyle{ m^2+n^2}\) dzieli \(\displaystyle{ m^3+n}\) i \(\displaystyle{ n^3+m}\) ?
6. Zbiór \(\displaystyle{ E}\) ma \(\displaystyle{ n}\) elementów, zaś \(\displaystyle{ E_1,..., E_m}\) są jego różnymi podzbiorami właściwymi (tj. \(\displaystyle{ E_i \neq E}\)) oraz dla dowolnych \(\displaystyle{ x \neq y}\) elementów z \(\displaystyle{ E}\) jest tylko jeden podzbiór \(\displaystyle{ E_i }\), który je zawiera.
Udowodnić, że \(\displaystyle{ m \geq n }\) i wyjaśnić kiedy jest równość.
Kwant
7. Jeśli \(\displaystyle{ x=\frac{1}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt[4]{5}+1)( \sqrt[8]{5}+1) (\sqrt[16]{5}+1) },}\) to obliczyć \(\displaystyle{ (x+1)^{48}.}\)
AIME
8. Czy istnieją funkcje \(\displaystyle{ f, g}\) takie, że \(\displaystyle{ f(g(x))=x^3}\) i \(\displaystyle{ g(f(x))=x^4}\), gdy \(\displaystyle{ x \in \RR}\) ?
9. Rozwiązać równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2yy^{\prime \prime} =( y^{\prime} )^2 +y^2 \\ y(0)=0. \end{cases} }\)
Uwagi: Nie uwzględnia się \(\displaystyle{ y \equiv 0.}\)
10. Ośmiu graczy \(\displaystyle{ Z_1,...,Z_8}\) gra w Jai Alai i najpierw grają \(\displaystyle{ Z_1}\) z \(\displaystyle{ Z_2}\), pozostali są oczekujący na grę w kolejce. Po każdej wygranej na boisku pozostaje zwycięzca; zdobywa on też punkt, a przegrany idzie na koniec kolejki; do gry wchodzi pierwszy z kolejki, itd. Gra kończy się gdy ktoś ma już 7 punktów. Wtedy też okazało się iż wszyscy gracze mają łącznie 37 punktów. Kto wygrał grę ?
11. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{x^{10}+ 1}{x^6+x^4} = \frac{205}{16}.}\)
12. Niech \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1 &\text{gdy } x=1 \\ \frac{x}{10} &\text{gdy } x \text{ dzieli się przez } 10 \\ x+1 &\text{gdy żadne z tych}. \end{cases}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ d}\) wyraża ilość iteracji argumentu dających jedynkę; np. \(\displaystyle{ d(87)=7}\). Jeśli równanie \(\displaystyle{ d(x)=20}\) ma \(\displaystyle{ m}\) rozwiązań, to obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{p|m \ p \in P} p. }\)
Uwagi: \(\displaystyle{ P}\) to zbiór liczb pierwszych.
AIME
13. Czy istnieje ostrosłup pięciokątny, w którym wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi ?
14. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 8(2t-1)= (t^3+1)^3.}\)
15. Na ile sposobów można ustawić \(\displaystyle{ n}\) gońców na szachownicy \(\displaystyle{ n \times n }\), aby żadne z nich nie stały na polach stykających się rogiem, przy czym w każdym wierszu i kolumnie ma być dokładnie jeden ?
16. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sqrt{x+6} - \sqrt[3]{3x-1}=1.}\)
17. Problemy z prawdopodobieństwa
i) Permutację \(\displaystyle{ T}\) zbioru \(\displaystyle{ \{1,...,n \}}\) nazywa się zrównoważoną, jeśli \(\displaystyle{ |T(i)-i|}\) ma stałą wartość gdy \(\displaystyle{ i=1,...,n}\) *. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana permutacja jest zrównoważona ?
* np. \(\displaystyle{ T=( _{ 4 5 6 1 2 3} ^{1 2 3 4 5 6 } ) }\)
ii) 25 rycerzy króla Artura siedzi przy okrągłym stole i wylosowano trzech z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród nich są jacyś sąsiedzi ?
18. Producent obwodów scalonych buduje kostki o \(\displaystyle{ 16}\) elementach ustawione w macierzy \(\displaystyle{ 4 \times 4}\). Dla otrzymania różnych obwodów potrzebuje różnych wzorów połączeń między elementami sąsiednimi w pionie lub w poziomie. Do nałożenia powiązań między elementami w kostce, potrzebny jest szablon wzoru połączeń. Zauważmy, że dla wzorów połączeń (rys) wykorzystany będzie ten sam szablon (jeden rysunek można otrzymać z drugiego przez odbicie symetryczne względem przekątnej). Ile szablonów potrzeba do zrealizowania na kostkach wszystkich możliwych wzorów połączeń ?
19. Skaczące żaby, F-rogi; W każdym z czterech rogów kwadratu jest żaba. Któraś z nich może skoczyć ze swojego miejsca symetrycznie względem punktu \(\displaystyle{ F}\) (symetria środkowa), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach wyznaczonych przez pozostałe trzy żaby. Czy jest możliwym, aby kiedyś jakaś żaba wskoczyła na inną ?
20. Dylemat policjanta; Po telefonie od kapusia Policjant ma informację o miejscu i terminie spotkania pięcioosobowego gangu i może on rozpocząć obserwację ich dziupli, i choć nie zna szefa, to jednak wie, że jest on najwyższego wzrostu wśród nich. Ponieważ gangsterzy opuszczali swą dziuplę pojedynczo, zdecydował że dwóch pierwszych, którzy z niej wychodzili wypuści i aresztuje pierwszego kolejnego, który będzie wyższy od każdego z tej dwójki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że aresztuje szefa gangu ?
Uwagi: Wszyscy gangsterzy są różnego wzrostu.
21. Wyznaczyć wielomian możliwie najniższego stopnia, na wykresie którego są wierzchołki kwadratu i są to punkty kratowe.
22. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a, b, c, d, e }\) są różnymi liczbami naturalnymi i \(\displaystyle{ a^4+b^4=c^4+d^4=e^5,}\) to liczba \(\displaystyle{ ac+bd}\) jest złożona.
Nowa Zelandia
23. Liczby \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\) dają co najmniej \(\displaystyle{ k+1}\) różnych reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ n+k}\). Udowodnić, że suma niektórych z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ n+k.}\)
Uwagi: \(\displaystyle{ n>k}\)
24. Wyznaczyć rekurencję dla ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{1} , \frac{1}{7}, \frac{7}{25} , \frac{25}{97} , \frac{97}{373},… }\) i udowodnić, iż ma on granicę \(\displaystyle{ \frac{1}{1+\sqrt[3]{2}+ \sqrt[3]{4}}.}\)
25. Ile może być maksymalnie cykli długości
i) \(\displaystyle{ 3}\)
ii) \(\displaystyle{ 4 }\)
w digrafie o \(\displaystyle{ n }\) wierzchołkach ?
26. Przy okrągłym stole siedzi nieparzysta liczba kobiet i taka sama liczba mężczyzn. Udowodnić, że istnieje osoba, mająca za obu sąsiadów kobiety.
27. Na płaszczyźnie jest \(\displaystyle{ m }\) punktów i wszystkie odległości między nimi są różne. Każdy z punktów łączy się odcinkiem z najbliższym mu punktem; powstaje graf połączeń. Jaki może być maksymalny stopień wierzchołka w takim grafie ?
I czy zależy to od \(\displaystyle{ m }\) ?
28. Zbiory \(\displaystyle{ A_1,...,A_n }\) są trzyelementowymi podzbiorami \(\displaystyle{ X}\), a także \(\displaystyle{ |A_j \cap A_j| \leq 1 }\) gdy \(\displaystyle{ i \neq j }\). Udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ A \subset X }\) taki, że \(\displaystyle{ |A| \geq 2\sqrt{n} }\) i żaden zbiór \(\displaystyle{ A_i }\) nie jest podzbiorem \(\displaystyle{ A.}\)
29. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) na boku \(\displaystyle{ BC}\) są punkty \(\displaystyle{ N}\) i \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ CN=NM=MB}\). Prosta równoległa do \(\displaystyle{ AC}\), na której nie ma ani \(\displaystyle{ N}\) ani \(\displaystyle{ M}\), ma punkty wspólne z \(\displaystyle{ AB}\) tj. \(\displaystyle{ D,}\) z \(\displaystyle{ AM}\) tj. \(\displaystyle{ E}\) i z \(\displaystyle{ AN}\) tj. \(\displaystyle{ F}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ EF=3DE.}\)
30. Nierówność: Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a, b> 0 \\ a+b <1,}\) to
\(\displaystyle{ \frac{(a-1)^2+b(2a-b)}{(b-1)^2+a(2b-a)} \geq \min \{ \frac{a}{b}, \frac{b}{a} \}.}\)