Podstawianie całek
- atanazygwiezducha
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 30 lis 2021, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 23
- Podziękował: 8 razy
Podstawianie całek
Mam do rozwiązania całkę
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ e^{x} }{1+ e^{x} } }\)
Wiem że prawidłowym wynikiem jest podstawienie mianownika pod \(\displaystyle{ t}\), wynik wychodzi wtedy \(\displaystyle{ \ln|1+ e^{x}| +C }\)
Natomiast dlaczego wychodzi mi zupełnie inny wynik kiedy pod \(\displaystyle{ t}\) podstawiam licznik? Który z kroków robię niepoprawnie?
\(\displaystyle{ e^{x} = t \\ dt=e^{x}dx \\ \frac{dt}{e^{x}} = dx \\ }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t }{1+t} \cdot \frac{dt}{t} = \int_{}^{} \frac{dt }{ 1^{2} + \sqrt{t}^{2} } = \arctg( \sqrt{t}) + C }\)
PS: Bardzo proszę o wyrozumiałość. To jest jedna z moich pierwszych całek a nie za bardzo wiem w jaki sposób mogę wyszukać mój problem w internecie.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ e^{x} }{1+ e^{x} } }\)
Wiem że prawidłowym wynikiem jest podstawienie mianownika pod \(\displaystyle{ t}\), wynik wychodzi wtedy \(\displaystyle{ \ln|1+ e^{x}| +C }\)
Natomiast dlaczego wychodzi mi zupełnie inny wynik kiedy pod \(\displaystyle{ t}\) podstawiam licznik? Który z kroków robię niepoprawnie?
\(\displaystyle{ e^{x} = t \\ dt=e^{x}dx \\ \frac{dt}{e^{x}} = dx \\ }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t }{1+t} \cdot \frac{dt}{t} = \int_{}^{} \frac{dt }{ 1^{2} + \sqrt{t}^{2} } = \arctg( \sqrt{t}) + C }\)
PS: Bardzo proszę o wyrozumiałość. To jest jedna z moich pierwszych całek a nie za bardzo wiem w jaki sposób mogę wyszukać mój problem w internecie.
Ostatnio zmieniony 28 maja 2022, o 19:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4079
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1396 razy
Re: Podstawianie całek
atanazygwiezducha pisze: ↑28 maja 2022, o 17:56 \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt }{ 1^{2} + \sqrt{t}^{2} } = \arctg( \sqrt{t}) + C }\)
Wychodzi źle bo to przejście jest nieprawidłowe. Policz pochodną prawej strony aby się o tym przekonać.
- atanazygwiezducha
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 30 lis 2021, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 23
- Podziękował: 8 razy
Re: Podstawianie całek
We wzorach mam:
\(\displaystyle{
\int_{}^{} \frac{dx}{ a^{2} + x^{2} } = \frac{1}{a} \arctg \frac{x}{a} + C
}\)
Na tej podstawie:
\(\displaystyle{
\int_{}^{} \frac{dt }{ 1^{2} + \sqrt{t}^{2} } = \frac{1}{1} \arctg \frac{ \sqrt{t}}{1} + C = \arctg( \sqrt{t}) + C
}\)
Czy ten wzór jest w takim razie nieprawidłowy czy ja coś źle w nim rozumiem?
\(\displaystyle{
\int_{}^{} \frac{dx}{ a^{2} + x^{2} } = \frac{1}{a} \arctg \frac{x}{a} + C
}\)
Na tej podstawie:
\(\displaystyle{
\int_{}^{} \frac{dt }{ 1^{2} + \sqrt{t}^{2} } = \frac{1}{1} \arctg \frac{ \sqrt{t}}{1} + C = \arctg( \sqrt{t}) + C
}\)
Czy ten wzór jest w takim razie nieprawidłowy czy ja coś źle w nim rozumiem?
Ostatnio zmieniony 28 maja 2022, o 19:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4079
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1396 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Podstawianie całek
Po co zamieniasz na kwadratową sumę mianownik funkcji podcałkowej, skoro po poprawnych podstawieniach i uproszczeniu przez \(\displaystyle{ t }\)
otrzymujesz prostą do obliczenia całkę
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1+t}dt }\) ?
Jaka jest funkcja pierwotna funkcji \(\displaystyle{ f(t) = \frac{1}{1+t} }\) ?
otrzymujesz prostą do obliczenia całkę
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1+t}dt }\) ?
Jaka jest funkcja pierwotna funkcji \(\displaystyle{ f(t) = \frac{1}{1+t} }\) ?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4079
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1396 razy
Re: Podstawianie całek
Bo się uczy i pamięta wzór na \(\displaystyle{ \arctg}\) i próbuje dopasować swój problem do tego wzoru. To bardzo naturalne podejście. Polecam jednak dalej zastanowić się nad pochodną \(\displaystyle{ \arctg( \sqrt{t})}\). To pozwoli Ci zrozumieć, gdzie jest błąd (często popełniany w innych różnych miejscach). Twoim aktualnym celem nie powinno być rozwiązanie całki tylko zrozumienie dlaczego nie wolno tak robić. Policzenie tej całki to inna sprawa.
-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Podstawianie całek
To nie jest dobre podejście. Po co tworzyć sztuczną sumę kwadratów ?
Lepszym jest zrozumienie dlaczego
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x+a} = \ln( x+ a) + C }\) ?
Lepszym jest zrozumienie dlaczego
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x+a} = \ln( x+ a) + C }\) ?
- atanazygwiezducha
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 30 lis 2021, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 23
- Podziękował: 8 razy
Re: Podstawianie całek
To jest właśnie moje podejście, dlatego w poście nie prosiłem o poprawne rozwiązanie tylko o wyjaśnienie mojego błędu. Dziękuję za zrozumienie.Janusz Tracz pisze: ↑28 maja 2022, o 18:56Bo się uczy i pamięta wzór na \(\displaystyle{ \arctg}\) i próbuje dopasować swój problem do tego wzoru. To bardzo naturalne podejście. Polecam jednak dalej zastanowić się nad pochodną \(\displaystyle{ \arctg( \sqrt{t})}\). To pozwoli Ci zrozumieć, gdzie jest błąd (często popełniany w innych różnych miejscach). Twoim aktualnym celem nie powinno być rozwiązanie całki tylko zrozumienie dlaczego nie wolno tak robić. Policzenie tej całki to inna sprawa.
Pochodną policzyłem i wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{ 2 \sqrt{t}(1+t) } }\)
Domyślam się nawet gdzie może leżeć błąd.
Czy błędne było założenie że \(\displaystyle{ t= (\sqrt{t})^{2} }\) podczas gdy powinno być \(\displaystyle{ |t|= (\sqrt{t})^{2} }\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 22224
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: Podstawianie całek
To akurat nie jest największy problem.
Jak byłem dzieckiem, to popularne było takie zadanie: znajdź dziesięć szczegółów, którymi różnią sie te rysunki.
To jest podobnie: porównaj te obrazki
Jak byłem dzieckiem, to popularne było takie zadanie: znajdź dziesięć szczegółów, którymi różnią sie te rysunki.
To jest podobnie: porównaj te obrazki
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{1+x^2}\quad\int\frac{dt}{1+\left(\sqrt{t}\right)^2}}\)
Czy czegoś w tym drugim nie brakuje?-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Podstawianie całek
Błędnym jest zamienianie \(\displaystyle{ t }\) na \(\displaystyle{ \sqrt{t^2} }\)
bo pochodne
\(\displaystyle{ t' = 1, \ \ (\sqrt{t^2})' = \frac{t}{\sqrt{t^2}} = \frac{t}{|t|} = \begin{cases} -1, \ \ gdy \ \ t<0 \\ 1, \ \ gdy \ \ t>0 \end{cases} = sign(t)}\)
są różne.
Dodano po 4 minutach 55 sekundach:
Brakuje założenia \(\displaystyle{ t \geq 0 . }\)
bo pochodne
\(\displaystyle{ t' = 1, \ \ (\sqrt{t^2})' = \frac{t}{\sqrt{t^2}} = \frac{t}{|t|} = \begin{cases} -1, \ \ gdy \ \ t<0 \\ 1, \ \ gdy \ \ t>0 \end{cases} = sign(t)}\)
są różne.
Dodano po 4 minutach 55 sekundach:
Brakuje założenia \(\displaystyle{ t \geq 0 . }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22224
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: Podstawianie całek
Jeżeli w tym miejscu doszukujesz się błedu, to błądzisz. Rozumiem, że uważasz takie cośjanusz47 pisze: ↑28 maja 2022, o 19:43 Błędnym jest zamienianie \(\displaystyle{ t }\) na \(\displaystyle{ \sqrt{t^2} }\)
bo pochodne
\(\displaystyle{ t' = 1, \ \ (\sqrt{t^2})' = \frac{t}{\sqrt{t^2}} = \frac{t}{|t|} = \begin{cases} -1, \ \ gdy \ \ t<0 \\ 1, \ \ gdy \ \ t>0 \end{cases} = sign(t)}\)
są różne.
Dodano po 4 minutach 55 sekundach:
Brakuje założenia \(\displaystyle{ t \geq 0 . }\)
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{1+x^4}=\int\frac{dx}{1+(x^2)^2}=\arctg x^2}\)
za poprawne.
Dodano po 3 minutach 25 sekundach:
Po prostu nie jest prawdą, że
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{1+(\text{cokolwiek})^2}=\arctg (\text{cokolwiek}) }\)
- atanazygwiezducha
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 30 lis 2021, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 23
- Podziękował: 8 razy
Re: Podstawianie całek
Ja w takim razie już bardzo zbłądziłem.
Dlaczego ww. wzór nie jest poprawny?
Jeśli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, dlaczego nie może być równie dobrze czymś do kwadratu?
-
- Użytkownik
- Posty: 22224
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: Podstawianie całek
MAsz taki wzór:
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{1+x^2}=\arctg x}\)
i możesz sobie w nim za `x` podstawic co tylko zechcesz, nawet lokomotywę, bo
\(\displaystyle{ \int\frac{d\text{(lokomotywa)}}{1+\text{(lokomotywa)}^2}=\arctg \text{(lokomotywa)}}\)
Ale musisz to zrobić ze wszystkimi wystąpieniami `x`. A zatem poprawnie by było
\(\displaystyle{ \int\frac{d\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}^2}=\arctg \sqrt{t}}\). A le w Twojej wersji masz w liczniku coś innego, nieprawdaż?
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{1+x^2}=\arctg x}\)
i możesz sobie w nim za `x` podstawic co tylko zechcesz, nawet lokomotywę, bo
\(\displaystyle{ \int\frac{d\text{(lokomotywa)}}{1+\text{(lokomotywa)}^2}=\arctg \text{(lokomotywa)}}\)
Ale musisz to zrobić ze wszystkimi wystąpieniami `x`. A zatem poprawnie by było
\(\displaystyle{ \int\frac{d\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}^2}=\arctg \sqrt{t}}\). A le w Twojej wersji masz w liczniku coś innego, nieprawdaż?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4079
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1396 razy
Re: Podstawianie całek
Well a4karo wyjaśnił już sprawę, gdy mnie nie było. I bardzo dobrze \(\displaystyle{ \displaystyle{ \int\frac{ \dd \text{(lokomotywa)}}{1+\text{(lokomotywa)}^2}=\arctg \text{(lokomotywa)}}}\) bo to miałem na myśli. Co do pochodnej
jeśli bowiem zostanie on dopisany to całki te niczym nie będą się równać. Gdy się policzy pochodne
tu widać właśnie, że czerwony fragment to kawałek który przeszkadza bo bierze się z pochodnej funkcji wewnętrznej to jest \(\displaystyle{ \sqrt{t} }\). Ten czerwony kawałek to też brakująca część pomiędzyatanazygwiezducha pisze: ↑28 maja 2022, o 19:10 Pochodną policzyłem i wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{ {\red {2 \sqrt{t} }}(1+t) } }\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1+x^2} \dd x \quad \text{vs} \quad \int \frac{1}{1+\left( \sqrt{t} \right)^2 } \dd t }\)
jeśli bowiem zostanie on dopisany to całki te niczym nie będą się równać. Gdy się policzy pochodne
\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd \, \text{lokomotywa} } \arctg \text{(lokomotywa)} = \frac{1}{1+\text{(lokomotywa)}^2} }\)
a, gdy \(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd x} \arctg \text{(lokomotywa)} = \frac{1}{1+\text{(lokomotywa)}^2} \times {\red{ \frac{ \dd \, \text{lokomotywa}}{ \dd x } }}. }\)
to widać co się dzieje. Dlatego Twoje rozwiązanie nie zadziałało, bo \(\displaystyle{ {\red{ \frac{ \dd \, \text{lokomotywa}}{ \dd x } }} \not= 1}\) w Twoim przypadku. Na koniec jeszcze dodam, że warto uczyć się całowania poprzez zauważanie, że pewne klasyczne wzory zachodzą ale w ogólniejszym sensie. Mam na myśli takie sytuacje: \(\displaystyle{ \int \sin x \cos x \dd x = \int \sin x \, \dd \sin x = \int \clubsuit \dd x \clubsuit = \frac{\clubsuit^2}{2} }\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln x} \dd x = \int \frac{1}{\ln x} \dd \ln x = \int \frac{1}{\clubsuit} \dd \clubsuit = \ln |\clubsuit| }\)
i wiele innych tego typu.