Udowodniłem wczoraj, że podzbiory zbioru liczb rzeczywistych symetryczne względem zera mają pewną niesłychaną własność: jeśli rozważymy porządek naturalny na takim dowolnym ustalonym zbiorze i porządek do niego odwrotny, to te dwa porządki są podobne. Zadziwiające. Udowodniłem też wczoraj, że jeśli mamy dwa zbiory symetryczne względem zera , to ich różnica jest zbiorem symetrycznym względem zera, i, co za tym idzie, ich różnica symetryczna jest zbiorem symetrycznym względem zera, i dopełnienie ( do \(\displaystyle{ \RR}\)) zbioru symetrycznego względem zera jest zbiorem symetrycznym względem zera. Zaraz podam definicję tego prostego pojęcia, i przedstawię dowody tych ciekawych faktów.
Podzbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) zbioru liczb rzeczywistych, nazywamy zbiorem symetrycznym względem zera, gdy spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ x\in A \Longrightarrow \left( -x\right)\in A.}\)
Czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), gdy z każdym swoim elementem zawiera również liczbę przeciwną do tego elementu.
Bardzo proste obserwacje:
Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to ich suma \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0,}\) i ich przekrój jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\).
Łatwo to można udowodnić.
Wykażemy teraz, że jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są symetryczne względem zera, to ich różnica \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczna względem zera.
Dowód:
Mamy \(\displaystyle{ A \setminus B \subset A\subset \RR}\), a więc \(\displaystyle{ A \setminus B\subset \RR}\), jak trzeba.
Aby wykazać, że jest to zbiór symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to weźmy \(\displaystyle{ x\in A \setminus B}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ (-x) \in A \setminus B}\).
Mamy \(\displaystyle{ x\in A, x\not\in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ \left( -x\right)\in A.}\)
Przypuśćmy teraz, że \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in B}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem symetryczny względem zera, więc wnioskujemy, że również \(\displaystyle{ -\left( -x\right) \in B }\), czyli, że: \(\displaystyle{ x\in B}\) -sprzeczność. Wobec czego \(\displaystyle{ (-x)\not\in B.}\)
Mamy \(\displaystyle{ (-x)\in A}\), zatem \(\displaystyle{ (-x) \in A \setminus B}\), i zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0. \square}\)
Wykażemy teraz, że jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to ich różnica symetryczna \(\displaystyle{ A\oplus B}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.}\)
PROSTY DOWÓD:
Mamy \(\displaystyle{ A\oplus B= (A \setminus B) \cup \left( B \setminus A\right).}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ A,B}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to na mocy faktu udowodnionego przed chwilą: zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0,}\) i podobnie zbiór \(\displaystyle{ B \setminus A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), w efekcie ich unia (suma) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ A\oplus B= (A \setminus B) \cup \left( B \setminus A\right) }\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0. \square}\)
I dopełnienie ( do zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)) zbioru symetrycznego względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.}\)
( Dla dowodu wystarczy zauważyć, że cały zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), i wykorzystać udowodniony fakt z różnicą)\(\displaystyle{ .\square}\)
Pozostał nam do udowodnienia jeden fakt.
Jeśli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), i jeśli rozważymy na tym zbiorze porządek naturalny i porządek doń odwrotny, to te dwa porządki są podobne, tzn. \(\displaystyle{ (A, \le _{|A}=: \le _A ) \approx \left( A, \ge _A:= \left( \le _A\right) ^{-1} \right) .}\)
Dowód:
Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A}\), daną jako:
\(\displaystyle{ f(x)=-x.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również \(\displaystyle{ (-x)\in A}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)\in A}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dobrze określona.
Łatwo jest pokazać, że taka funkcja jest różnowartościowa oraz, że jest 'na' , wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją.
Pokażemy, że jest monotoniczna.
Jeśli \(\displaystyle{ x_1, x_2\in A}\), i \(\displaystyle{ x_1 \le _A x_2}\), to \(\displaystyle{ x_1 \le x_2}\), wtedy \(\displaystyle{ -x_1 \ge -x_2}\), czyli \(\displaystyle{ f(x_1) \ge f(x_2).}\) Mamy \(\displaystyle{ f(x_1), f(x_2)\in A}\), więc również \(\displaystyle{ f(x_2) \le _A f(x_1)}\), a zatem \(\displaystyle{ f(x_1) \le _A ^{-1} f(x_2)}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna.
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją monotoniczną z \(\displaystyle{ (A, \le _A)}\)- ze zbioru liniowo uporządkowanego, w \(\displaystyle{ \left( A, \ge _A= \left( \le _A\right) ^{-1}\right) }\)- zbiór liniowo uporządkowany, więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, i \(\displaystyle{ (A, \le _A ) \approx \left( A, \ge _A\right).\square}\)
Również, na dowolnym ustalonym zbiorze symetrycznym względem zera, jest tyle samo funkcji silnie rosnących co funkcji silnie malejących, który to fakt udowodniłem TUTAJ, W OSTATNIM MOIM POŚCIE.
Zbiory symetryczne względem 0
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Zbiory symetryczne względem 0
Udowodniłem dzisiaj, że jeśli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ B\subset A}\) przedziałem w nim, to zbiór wszystkich wartości przeciwnych, do elementów tego przedziału, również jest przedziałem. Ten fakt może mi się przydać w pewnych rozważaniach w zbiorze liczb całkowitych, bo zbiór liczb całkowitych niewątpliwie jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\). Przedstawię teraz dowód tego faktu.
Niech \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) będzie zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\) ( zbiorem liniowo uporządkowanym z naturalnym porządkiem). Oraz niech \(\displaystyle{ B\subset A}\) będzie przedziałem w \(\displaystyle{ A}\). Wykażemy, że również zbiór \(\displaystyle{ -B,}\) zdefiniowany jako:
\(\displaystyle{ -B=\left\{ -b\Bigl| \ b\in B\right\}}\),
jest przedziałem w \(\displaystyle{ A}\).
Przypomnę może jeszcze, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right),}\) podzbiór \(\displaystyle{ C\subset X}\) nazywamy przedziałem, gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ c_1,c_2\in C,}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in X}\), takiego, że \(\displaystyle{ c_1<x<c_2,}\) zachodzi: \(\displaystyle{ x\in C}\),
czyli zbiór jest przedziałem, gdy z każdymi jego dwoma elementami każdy pośredni element zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\) jest elementem tego przedziału.
DOWÓD NASZEGO FAKTU:
Zauważmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ b\in B}\), to \(\displaystyle{ b\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również \(\displaystyle{ \left( -b\right)\in A}\), a więc \(\displaystyle{ -B\subset A,}\) jak trzeba.
Aby wykazać, że ten zbiór jest przedziałem w \(\displaystyle{ A}\), to niech \(\displaystyle{ b_1,b_2 \in \left( -B\right)}\), i niech \(\displaystyle{ x\in A}\) będzie taką liczbą rzeczywistą, że: \(\displaystyle{ b_1<x<b_2}\). I pokażemy, że: \(\displaystyle{ x\in \left( -B\right).}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ b_1,b_2\in \left( -B\right)}\), więc \(\displaystyle{ b_1=-c_1}\), gdzie \(\displaystyle{ c_1\in B}\); oraz \(\displaystyle{ b_2=-c_2}\), gdzie \(\displaystyle{ c_2\in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ b_1<x<b_2}\), więc \(\displaystyle{ -b_1>-x>-b_2}\), a zatem \(\displaystyle{ c_1=-\left( -c_1\right)>-x>-\left( -c_2\right) =c_2}\), czyli
\(\displaystyle{ B\ni c_2<-x<c_1\in B}\),
i \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ A}\), więc wnioskujemy, że: \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in B}\), a zatem \(\displaystyle{ x=-\left( -x\right)\in \left( -B\right)}\), czyli \(\displaystyle{ x\in \left( -B\right).\square}\)
Niech \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) będzie zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\) ( zbiorem liniowo uporządkowanym z naturalnym porządkiem). Oraz niech \(\displaystyle{ B\subset A}\) będzie przedziałem w \(\displaystyle{ A}\). Wykażemy, że również zbiór \(\displaystyle{ -B,}\) zdefiniowany jako:
\(\displaystyle{ -B=\left\{ -b\Bigl| \ b\in B\right\}}\),
jest przedziałem w \(\displaystyle{ A}\).
Przypomnę może jeszcze, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right),}\) podzbiór \(\displaystyle{ C\subset X}\) nazywamy przedziałem, gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ c_1,c_2\in C,}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in X}\), takiego, że \(\displaystyle{ c_1<x<c_2,}\) zachodzi: \(\displaystyle{ x\in C}\),
czyli zbiór jest przedziałem, gdy z każdymi jego dwoma elementami każdy pośredni element zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\) jest elementem tego przedziału.
DOWÓD NASZEGO FAKTU:
Zauważmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ b\in B}\), to \(\displaystyle{ b\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również \(\displaystyle{ \left( -b\right)\in A}\), a więc \(\displaystyle{ -B\subset A,}\) jak trzeba.
Aby wykazać, że ten zbiór jest przedziałem w \(\displaystyle{ A}\), to niech \(\displaystyle{ b_1,b_2 \in \left( -B\right)}\), i niech \(\displaystyle{ x\in A}\) będzie taką liczbą rzeczywistą, że: \(\displaystyle{ b_1<x<b_2}\). I pokażemy, że: \(\displaystyle{ x\in \left( -B\right).}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ b_1,b_2\in \left( -B\right)}\), więc \(\displaystyle{ b_1=-c_1}\), gdzie \(\displaystyle{ c_1\in B}\); oraz \(\displaystyle{ b_2=-c_2}\), gdzie \(\displaystyle{ c_2\in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ b_1<x<b_2}\), więc \(\displaystyle{ -b_1>-x>-b_2}\), a zatem \(\displaystyle{ c_1=-\left( -c_1\right)>-x>-\left( -c_2\right) =c_2}\), czyli
\(\displaystyle{ B\ni c_2<-x<c_1\in B}\),
i \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ A}\), więc wnioskujemy, że: \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in B}\), a zatem \(\displaystyle{ x=-\left( -x\right)\in \left( -B\right)}\), czyli \(\displaystyle{ x\in \left( -B\right).\square}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Zbiory symetryczne względem 0
Udowodniłem przedwczoraj, że jesli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem nieskończonym, zbiorem symetrycznym wzgledem \(\displaystyle{ 0}\), to ilość bijekcji na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) ( i o wartościach w nim ) jest równa \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| }}\) . Pomysł jest uogólnionieniem (niełatwego jak dla mnie) pomysłu Jana Kraszewskiego wykorzystanego przy zliczaniu bijekcji z \(\displaystyle{ \RR}\) do \(\displaystyle{ \RR}\). Jednak, łatwo jest, zauważyć, że jeśli liczbę rzeczywistą można zamienić z liczbą do niej przeciwną, to w zbiorze symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), wtedy element tego zbioru również można zamienić z liczbą do niego przeciwną , który to element przeciwny również będzie w tym zbiorze symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\). Reszta jest analogiczna do rozwiązania tego zadania z tym zliczaniem bijekcji z \(\displaystyle{ \RR}\) do \(\displaystyle{ \RR}\) ( ale dla mnie to też nie jest łatwe ). Przedstawię teraz dowód tego faktu:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech :
\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ f:A \rightarrow A\Bigl| \ \ f \hbox{ jest bijekcją}\right\} .}\)
Wykażemy, że: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| =2 ^{\left| A\right| } .}\)
Rozważmy dwa podzbiory zbioru \(\displaystyle{ A}\), tzn.:
\(\displaystyle{ A_-=\left\{ x\in A: \ x \le 0 \right\} }\), oraz
\(\displaystyle{ A_+=\left\{ x\in A: \ x \ge 0 \right\}.
}\)
Łatwo zauważyć, że te dwa zbiory są równoliczne, wystarczy rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f}\) działającą w poniższy sposób:
\(\displaystyle{ x \in A_- \stackrel{f}{ \rightarrow } -x.}\)
Łatwo jest pokazać, ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), że jest to dobrze określona bijekcja ze zbioru \(\displaystyle{ A_-}\) w zbiór \(\displaystyle{ A_+}\). A zatem \(\displaystyle{ A_-\sim A_+.}\)
Zauważmy, że: \(\displaystyle{ A= A_- \cup A_+.}\)
Zbiór \(\displaystyle{ A_+}\) musi być nieskończony, gdyż gdyby był skończony, to również zbiór \(\displaystyle{ A_-}\) bylby skończony, i wtedy zbiór \(\displaystyle{ A,}\) jako suma dwóch zbiorów skończonych, byłby zbiorem skończonym, a zbiór \(\displaystyle{ A}\) z założenia jest nieskończony- sprzeczność. A zatem zbiór \(\displaystyle{ A_+}\) musi być nieskończony.
I nie może być mocy silnie mniejszej od mocy zbioru \(\displaystyle{ A}\), gdyż gdyby tak przypadkiem było, to zbiór \(\displaystyle{ A_-}\), jako zbiór równoliczny ze zbiorem nieskończonym \(\displaystyle{ A_+}\), również byłby nieskończony, i ponieważ \(\displaystyle{ A=A_- \cup A_+= A_- \cup \left( A_+ \setminus \left\{ 0\right\} \right),}\) gdzie obydwa składniki tej sumy są zbiorami rozłącznymi, i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A_+}\) jest nieskończony, to drugi składnik tej sumy jest z nim równoliczny (w zbiorze nieskończonym wyrzucenie jednego elementu ze zbioru nie zmienia jego mocy), a zatem suma takich dwóch rozłącznych kopii zbioru \(\displaystyle{ A_+}\) (zbioru nieskończonego ), więc ta suma jest równoliczna z \(\displaystyle{ A_+}\), czyli \(\displaystyle{ \left| A\right| =\left| A_+\right|<\left| A\right|}\) , a więc \(\displaystyle{ A\not\sim A }\)-sprzeczność.
Wobec czego \(\displaystyle{ \left| A_+\right|\not < \left| A\right| }\), ale \(\displaystyle{ A_+\subset A}\), a zatem \(\displaystyle{ \left| A_+\right| \le \left| A\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| A_+\right|\not<\left| A\right|}\) , a zatem \(\displaystyle{ A_+\sim A}\) (i \(\displaystyle{ A_-\sim A}\)) .
Niech \(\displaystyle{ X=A_+ \setminus \left\{ 0\right\} .}\)
Definiujemy funkcję \(\displaystyle{ \alpha :2 ^{X}= \left\{ 0,1\right\} ^X \rightarrow \mathbb{B}}\), w poniższy, następujący sposób:
Jeśli \(\displaystyle{ b\in 2^X}\), tzn. \(\displaystyle{ b:A_+ \setminus \left\{ 0\right\} \rightarrow \left\{ 0,1 \right\}}\), to definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A}\), tak, że: jeśli \(\displaystyle{ x\in A_+ \setminus \left\{ 0\right\}}\) i
i jesli \(\displaystyle{ b(x)= 0}\), to \(\displaystyle{ f(x)=x\in A, }\) i \(\displaystyle{ f(-x)=-x\in A}\),
a jeśli \(\displaystyle{ b(x)=1}\), to \(\displaystyle{ f(x)=-x\in A,}\) i \(\displaystyle{ f(-x)=x\in A;.}\)
A jeśli \(\displaystyle{ 0\in A}\), to \(\displaystyle{ f(0)=0.}\)
Mamy \(\displaystyle{ A_- \cup A_+=A.}\)
I jesli \(\displaystyle{ y\in A_-}\) i \(\displaystyle{ y \neq 0}\), to \(\displaystyle{ y\in A}\) i \(\displaystyle{ y<0}\), a zatem ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to \(\displaystyle{ \left( -y\right) \in A}\) i \(\displaystyle{ \left( -y\right) >0}\), a zatem \(\displaystyle{ x:=\left( -y\right) \in A_+ \setminus \left\{ 0\right\}}\), i wtedy \(\displaystyle{ \left( -x\right) = -\left( -y\right) =y}\), a zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest określona na liczbie \(\displaystyle{ y,}\)
a zatem, stąd otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest określona na całym zbiorze \(\displaystyle{ A_- \setminus \left\{ 0\right\} }\), i, z definicji tej funkcji, otrzymujemy, że jest ona określona na całym zbiorze \(\displaystyle{ A}\), i \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A.}\)
Łatwo, ale dość żmudnie, możemy pokazać, że ta funkcja jest różnowartościowa. Wykażemy teraz, że ta funkcja jest funkcją 'na'.
Niech \(\displaystyle{ y\in A}\).
Jeśli \(\displaystyle{ y=0}\), to \(\displaystyle{ f(0)=0=y}\), a więc element \(\displaystyle{ y}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f. }\)
Jeśli \(\displaystyle{ y \neq 0}\) , to rozważmy wartość bezwzględną takiej liczby, tzn.
niech \(\displaystyle{ x:=\left| y \right| \in A_+ \setminus \left\{ 0\right\}}\) ,
i jesli \(\displaystyle{ b(x)=0}\), to:
\(\displaystyle{ f(x)=x=\left| y\right| =y}\), dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\), i:
\(\displaystyle{ f(-x)= -x= -\left| y\right| = y}\), dla \(\displaystyle{ y<0}\).
A jeśli \(\displaystyle{ b(x)=1}\), to:\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ f(x)=-x=-\left| y\right| = -\left( -y\right) =y}\), dla \(\displaystyle{ y<0}\),
i \(\displaystyle{ f\left( -x\right) =x=\left| y\right| =y}\), dla \(\displaystyle{ y \ge 0. }\)
Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją 'na', I funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją.
A zatem \(\displaystyle{ f\in\mathbb{B}}\), i otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) działająca w poniższy sposób:
\(\displaystyle{ b\in 2^X=\left\{ 0,1\right\} ^X \stackrel{ \alpha }{ \rightarrow } f_b\in \mathbb{B}}\),
jest dobrze określona.
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
W tym celu weźmy dwie różne funkcje \(\displaystyle{ a,b \in 2^X= \left\{ 0,1\right\} ^{X}}\), i pokażmy, że przypisane im przez funkcję \(\displaystyle{ \alpha}\) funkcję: \(\displaystyle{ f_a}\) i \(\displaystyle{ f_b}\) są różne.
Ponieważ \(\displaystyle{ a,b:X= A_+ \setminus \left\{ 0\right\} \rightarrow \left\{ 0,1\right\} }\), więc ponieważ te funkcję \(\displaystyle{ a,b}\) mają tą samą dziedzinę i przeciwdziedzinę i ponieważ te funkcje są różne, więc dla pewnego \(\displaystyle{ x\in X}\), mamy \(\displaystyle{ a(x) \neq b(x)}\). Ponieważ są to funkcję o wartościach w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\} }\), więc jedna z tych funkcji musi przyjąć wartość \(\displaystyle{ 0}\), a druga musi wynieść \(\displaystyle{ 1.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a(x)=0}\); \(\displaystyle{ b(x)=1}\), to zgodnie z definicją funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy, że:\(\displaystyle{ f _{a}(x)=x,}\) i z definicji funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ f_b(x)=-x.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x\in X}\), więc \(\displaystyle{ x \neq 0}\), a zatem:
\(\displaystyle{ f_a(x)=x \neq -x = f_b(x)}\), a zatem:
\(\displaystyle{ f_a \neq f_b}\).
Jeśli \(\displaystyle{ a(x)=1}\); \(\displaystyle{ b(x)=0}\), to w sposób podobny uzasadniamy, że \(\displaystyle{ f_a \neq f_b.}\)
A zatem funkcja:
\(\displaystyle{ \alpha : 2^X=\left\{ 0,1\right\} ^{X} \rightarrow \mathbb{B},}\)
jest różnowartościowa.
A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B} \right| \ge \left| 2 ^{X}\right| . }\)
Ale \(\displaystyle{ \mathbb{B}\subset A^A}\), i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony, a zatem, na mocy faktu który udowodniłem: TUTAJ, W DRUGIM POŚCIE, więc wszystkich funckji z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| }}\), a zatem: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \le \left| 2 ^{A} \right|}\) .
Mamy, ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A_+}\) jest nieskończony, to \(\displaystyle{ X=A_+ \setminus \left\{ 0\right\} \sim A_+}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest również nieskończony, i :
\(\displaystyle{ 2^X= \left\{ 0,1\right\} ^X\sim P(X)\sim P(A_+)\stackrel{A_+\sim A} {\sim} P(A).}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ \left| 2^X \right|= \left| P(A) \right|}\) ,
a zatem:
\(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \ge \left| 2^X\right| = \left| P(A)\right| = \left| 2^A\right|.}\)
Na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| = 2^\left| A\right|}\), gdzie zbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest nieskończony\(\displaystyle{ .\square}\)
Wynika stąd dość łatwo, że na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), zbiorze nieskończonym funkcji różnowartościowych jest \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| }}\), tzn.
Jeśli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), zbiorem nieskończonym, to rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), dana jako:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ f:A \rightarrow A \Bigl| \ \ f \hbox{ jest różnowartościowa }\right\},}\)
ma moc równą \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| } . }\)
DOŚĆ OCZYWISTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech:
\(\displaystyle{ \mathbb{A}=\left\{ f:A \rightarrow A\Bigl| \ \ f \hbox{ jest bijekcją}\right\} .}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \mathbb{A}\subset \mathbb{B}}\)- każda bijekcja jest funkcją różnowartościową, a zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \ge \left| \mathbb{A}\right| = 2 ^{ \left| A\right| } }\) (na mocy dowodu powyżej). Ale \(\displaystyle{ \mathbb{B}\subset A^A}\), i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony, to ten zbiór funkcji jest mocy \(\displaystyle{ 2^A}\). A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \le 2^A}\) . Na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| = 2 ^{\left| A\right| } .\square}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech :
\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ f:A \rightarrow A\Bigl| \ \ f \hbox{ jest bijekcją}\right\} .}\)
Wykażemy, że: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| =2 ^{\left| A\right| } .}\)
Rozważmy dwa podzbiory zbioru \(\displaystyle{ A}\), tzn.:
\(\displaystyle{ A_-=\left\{ x\in A: \ x \le 0 \right\} }\), oraz
\(\displaystyle{ A_+=\left\{ x\in A: \ x \ge 0 \right\}.
}\)
Łatwo zauważyć, że te dwa zbiory są równoliczne, wystarczy rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f}\) działającą w poniższy sposób:
\(\displaystyle{ x \in A_- \stackrel{f}{ \rightarrow } -x.}\)
Łatwo jest pokazać, ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), że jest to dobrze określona bijekcja ze zbioru \(\displaystyle{ A_-}\) w zbiór \(\displaystyle{ A_+}\). A zatem \(\displaystyle{ A_-\sim A_+.}\)
Zauważmy, że: \(\displaystyle{ A= A_- \cup A_+.}\)
Zbiór \(\displaystyle{ A_+}\) musi być nieskończony, gdyż gdyby był skończony, to również zbiór \(\displaystyle{ A_-}\) bylby skończony, i wtedy zbiór \(\displaystyle{ A,}\) jako suma dwóch zbiorów skończonych, byłby zbiorem skończonym, a zbiór \(\displaystyle{ A}\) z założenia jest nieskończony- sprzeczność. A zatem zbiór \(\displaystyle{ A_+}\) musi być nieskończony.
I nie może być mocy silnie mniejszej od mocy zbioru \(\displaystyle{ A}\), gdyż gdyby tak przypadkiem było, to zbiór \(\displaystyle{ A_-}\), jako zbiór równoliczny ze zbiorem nieskończonym \(\displaystyle{ A_+}\), również byłby nieskończony, i ponieważ \(\displaystyle{ A=A_- \cup A_+= A_- \cup \left( A_+ \setminus \left\{ 0\right\} \right),}\) gdzie obydwa składniki tej sumy są zbiorami rozłącznymi, i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A_+}\) jest nieskończony, to drugi składnik tej sumy jest z nim równoliczny (w zbiorze nieskończonym wyrzucenie jednego elementu ze zbioru nie zmienia jego mocy), a zatem suma takich dwóch rozłącznych kopii zbioru \(\displaystyle{ A_+}\) (zbioru nieskończonego ), więc ta suma jest równoliczna z \(\displaystyle{ A_+}\), czyli \(\displaystyle{ \left| A\right| =\left| A_+\right|<\left| A\right|}\) , a więc \(\displaystyle{ A\not\sim A }\)-sprzeczność.
Wobec czego \(\displaystyle{ \left| A_+\right|\not < \left| A\right| }\), ale \(\displaystyle{ A_+\subset A}\), a zatem \(\displaystyle{ \left| A_+\right| \le \left| A\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| A_+\right|\not<\left| A\right|}\) , a zatem \(\displaystyle{ A_+\sim A}\) (i \(\displaystyle{ A_-\sim A}\)) .
Niech \(\displaystyle{ X=A_+ \setminus \left\{ 0\right\} .}\)
Definiujemy funkcję \(\displaystyle{ \alpha :2 ^{X}= \left\{ 0,1\right\} ^X \rightarrow \mathbb{B}}\), w poniższy, następujący sposób:
Jeśli \(\displaystyle{ b\in 2^X}\), tzn. \(\displaystyle{ b:A_+ \setminus \left\{ 0\right\} \rightarrow \left\{ 0,1 \right\}}\), to definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A}\), tak, że: jeśli \(\displaystyle{ x\in A_+ \setminus \left\{ 0\right\}}\) i
i jesli \(\displaystyle{ b(x)= 0}\), to \(\displaystyle{ f(x)=x\in A, }\) i \(\displaystyle{ f(-x)=-x\in A}\),
a jeśli \(\displaystyle{ b(x)=1}\), to \(\displaystyle{ f(x)=-x\in A,}\) i \(\displaystyle{ f(-x)=x\in A;.}\)
A jeśli \(\displaystyle{ 0\in A}\), to \(\displaystyle{ f(0)=0.}\)
Mamy \(\displaystyle{ A_- \cup A_+=A.}\)
I jesli \(\displaystyle{ y\in A_-}\) i \(\displaystyle{ y \neq 0}\), to \(\displaystyle{ y\in A}\) i \(\displaystyle{ y<0}\), a zatem ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to \(\displaystyle{ \left( -y\right) \in A}\) i \(\displaystyle{ \left( -y\right) >0}\), a zatem \(\displaystyle{ x:=\left( -y\right) \in A_+ \setminus \left\{ 0\right\}}\), i wtedy \(\displaystyle{ \left( -x\right) = -\left( -y\right) =y}\), a zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest określona na liczbie \(\displaystyle{ y,}\)
a zatem, stąd otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest określona na całym zbiorze \(\displaystyle{ A_- \setminus \left\{ 0\right\} }\), i, z definicji tej funkcji, otrzymujemy, że jest ona określona na całym zbiorze \(\displaystyle{ A}\), i \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A.}\)
Łatwo, ale dość żmudnie, możemy pokazać, że ta funkcja jest różnowartościowa. Wykażemy teraz, że ta funkcja jest funkcją 'na'.
Niech \(\displaystyle{ y\in A}\).
Jeśli \(\displaystyle{ y=0}\), to \(\displaystyle{ f(0)=0=y}\), a więc element \(\displaystyle{ y}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f. }\)
Jeśli \(\displaystyle{ y \neq 0}\) , to rozważmy wartość bezwzględną takiej liczby, tzn.
niech \(\displaystyle{ x:=\left| y \right| \in A_+ \setminus \left\{ 0\right\}}\) ,
i jesli \(\displaystyle{ b(x)=0}\), to:
\(\displaystyle{ f(x)=x=\left| y\right| =y}\), dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\), i:
\(\displaystyle{ f(-x)= -x= -\left| y\right| = y}\), dla \(\displaystyle{ y<0}\).
A jeśli \(\displaystyle{ b(x)=1}\), to:\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ f(x)=-x=-\left| y\right| = -\left( -y\right) =y}\), dla \(\displaystyle{ y<0}\),
i \(\displaystyle{ f\left( -x\right) =x=\left| y\right| =y}\), dla \(\displaystyle{ y \ge 0. }\)
Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją 'na', I funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją.
A zatem \(\displaystyle{ f\in\mathbb{B}}\), i otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) działająca w poniższy sposób:
\(\displaystyle{ b\in 2^X=\left\{ 0,1\right\} ^X \stackrel{ \alpha }{ \rightarrow } f_b\in \mathbb{B}}\),
jest dobrze określona.
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
W tym celu weźmy dwie różne funkcje \(\displaystyle{ a,b \in 2^X= \left\{ 0,1\right\} ^{X}}\), i pokażmy, że przypisane im przez funkcję \(\displaystyle{ \alpha}\) funkcję: \(\displaystyle{ f_a}\) i \(\displaystyle{ f_b}\) są różne.
Ponieważ \(\displaystyle{ a,b:X= A_+ \setminus \left\{ 0\right\} \rightarrow \left\{ 0,1\right\} }\), więc ponieważ te funkcję \(\displaystyle{ a,b}\) mają tą samą dziedzinę i przeciwdziedzinę i ponieważ te funkcje są różne, więc dla pewnego \(\displaystyle{ x\in X}\), mamy \(\displaystyle{ a(x) \neq b(x)}\). Ponieważ są to funkcję o wartościach w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\} }\), więc jedna z tych funkcji musi przyjąć wartość \(\displaystyle{ 0}\), a druga musi wynieść \(\displaystyle{ 1.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a(x)=0}\); \(\displaystyle{ b(x)=1}\), to zgodnie z definicją funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy, że:\(\displaystyle{ f _{a}(x)=x,}\) i z definicji funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ f_b(x)=-x.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x\in X}\), więc \(\displaystyle{ x \neq 0}\), a zatem:
\(\displaystyle{ f_a(x)=x \neq -x = f_b(x)}\), a zatem:
\(\displaystyle{ f_a \neq f_b}\).
Jeśli \(\displaystyle{ a(x)=1}\); \(\displaystyle{ b(x)=0}\), to w sposób podobny uzasadniamy, że \(\displaystyle{ f_a \neq f_b.}\)
A zatem funkcja:
\(\displaystyle{ \alpha : 2^X=\left\{ 0,1\right\} ^{X} \rightarrow \mathbb{B},}\)
jest różnowartościowa.
A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B} \right| \ge \left| 2 ^{X}\right| . }\)
Ale \(\displaystyle{ \mathbb{B}\subset A^A}\), i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony, a zatem, na mocy faktu który udowodniłem: TUTAJ, W DRUGIM POŚCIE, więc wszystkich funckji z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| }}\), a zatem: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \le \left| 2 ^{A} \right|}\) .
Mamy, ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A_+}\) jest nieskończony, to \(\displaystyle{ X=A_+ \setminus \left\{ 0\right\} \sim A_+}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest również nieskończony, i :
\(\displaystyle{ 2^X= \left\{ 0,1\right\} ^X\sim P(X)\sim P(A_+)\stackrel{A_+\sim A} {\sim} P(A).}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ \left| 2^X \right|= \left| P(A) \right|}\) ,
a zatem:
\(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \ge \left| 2^X\right| = \left| P(A)\right| = \left| 2^A\right|.}\)
Na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| = 2^\left| A\right|}\), gdzie zbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest nieskończony\(\displaystyle{ .\square}\)
Wynika stąd dość łatwo, że na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), zbiorze nieskończonym funkcji różnowartościowych jest \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| }}\), tzn.
Jeśli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), zbiorem nieskończonym, to rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), dana jako:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ f:A \rightarrow A \Bigl| \ \ f \hbox{ jest różnowartościowa }\right\},}\)
ma moc równą \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| } . }\)
DOŚĆ OCZYWISTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech:
\(\displaystyle{ \mathbb{A}=\left\{ f:A \rightarrow A\Bigl| \ \ f \hbox{ jest bijekcją}\right\} .}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \mathbb{A}\subset \mathbb{B}}\)- każda bijekcja jest funkcją różnowartościową, a zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \ge \left| \mathbb{A}\right| = 2 ^{ \left| A\right| } }\) (na mocy dowodu powyżej). Ale \(\displaystyle{ \mathbb{B}\subset A^A}\), i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony, to ten zbiór funkcji jest mocy \(\displaystyle{ 2^A}\). A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \le 2^A}\) . Na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| = 2 ^{\left| A\right| } .\square}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Zbiory symetryczne względem 0
Myślę, że możesz się pozbyć założenia o symetrii, jak też założenia, że \(A\subset\RR\). Zbiór nieskończony \(A\) jest równoliczny z \(A\times\{0,1\}\), a na tym zbiorze możesz przeprowadzić dowód podobnie jak na zbiorze symetrycznym. Nawet jest trochę prościej, bo każdy element ma od razu przypisaną parę, a w zbiorze symetrycznym musiałeś specjalnie traktować środek symetrii, który nie miał pary.Jakub Gurak pisze: ↑5 sie 2022, o 16:00 Udowodniłem przedwczoraj, że jesli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem nieskończonym, zbiorem symetrycznym wzgledem \(\displaystyle{ 0}\), to ilość bijekcji na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) ( i o wartościach w nim ) jest równa \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| }}\) .
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Zbiory symetryczne względem 0
Dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR }\), niech:
\(\displaystyle{ -A=\left\{ -a\Bigl| \ a \in A\right\} ,}\)
zbiór takich wartości przeciwnych, do elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\), nazwijmy odbiciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), względem \(\displaystyle{ 0.}\)
Udowodniłem wczoraj, że dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\), jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), dokładnie wtedy, gdy zawiera się w swoim odbiciu względem \(\displaystyle{ 0,}\) jak również, dokładnie wtedy, gdy zawiera swoje odbicie względem \(\displaystyle{ 0}\), jak również, dokładnie wtedy, gdy jest równy swojemu odbiciu względem \(\displaystyle{ 0.}\)
Udowodniłem też wczoraj, że jeśli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\), to odbicie, względem \(\displaystyle{ 0}\), sumy tych dwóch zbiorów jest równe sumie odbić, jak i udowodniłem, że odbicie przekroju tych dwóch zbiorów jest równe przekrojowi odbić, i udowodniłem dwa podobne fakty z różnioą i różnicą symetryczną (ten ostatni fakt udowodniłem na dwa sposoby).
Udowodonilem też ostatnio tak zwaną "zasadę indukcji dla zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem', tzn. jeśli mamy podzbiór \(\displaystyle{ A \subset \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), i zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera \(\displaystyle{ 0}\) (jako element), i zbiór \(\displaystyle{ A}\) z każdym swoim elementem zawiera również jego poprzednik, to \(\displaystyle{ A=\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\)- zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest równy zbiorowi liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem. Przestawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ A \subset \RR.}\)
Wykażemy, że następujące warunki są równoważne:
(1): \(\displaystyle{ \hbox{Zbiór } A \hbox{ jest zbiorem symetrycznym względem } 0 ;}\)
(2): \(\displaystyle{ A \subset \left( -A\right);}\)
(3): \(\displaystyle{ A\supset \left( -A\right);}\)
(4): \(\displaystyle{ A=\left( -A\right).}\)
Wykażemy najpierw, że warunek (1) jest równoważny warunkowi (2). Nim przejdziemy dalej, podajmy pewien Lemat.
Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ A_1, A_2 \subset \RR,}\) i \(\displaystyle{ A_1 \subset A_2}\), to \(\displaystyle{ \left( -A_1\right) \subset \left( -A_2\right)}\)
czyli odbicie, względem \(\displaystyle{ 0}\), zbioru większego jest większe, oto:
ILUSTRACJA TEGO FAKTU:\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
I: Zauważmy jeszcze, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR}\), mamy:
\(\displaystyle{ -\left( -A\right)= A}\),
gdyż:
\(\displaystyle{ -\left( -A\right) = \left\{ -b\Bigl| \ b \in \left( -A\right) \right\} = \left\{ -\left( -b\right) \Bigl| \ b \in A\right\} =\left\{ b\Bigl| \ b \in A\right\} =A.\square }\)
W związku z czym, możemy łatwo zakończyć nasze zadanie:
Gdyż jeśli \(\displaystyle{ A \subset \left( -A\right)}\), to na mocy powyższego Lematu: \(\displaystyle{ \left( -A\right) \subset -\left( -A\right) =A}\),
a więc z warunku (2) wynika warunek (3).
A jesli \(\displaystyle{ A\supset \left( -A\right) }\), to \(\displaystyle{ A= -\left( -A\right) \subset \left( -A\right) ,}\)
wobec czego warunki (2) i (3) są równoważne.
Czyli (1)\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) (2) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) (3).
Pozostał do rozważenia warunek (4) .
Niewątpliwie:
\(\displaystyle{ A= \left( -A\right) \Longleftrightarrow A \subset \left( -A\right) \hbox{ i } A\supset \left( -A\right) \Longleftrightarrow }\) (2) \(\displaystyle{ \hbox{ i }}\) (3) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) (2),
gdyż warunki (2) i (3) są równoważne, a jeśli dwie formuły \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są równoważne, to ich koniunkcja jest równoważna obydwóm składnikom tej koniunkcji, czyli \(\displaystyle{ \left( \alpha \wedge \beta \right) \Leftrightarrow \alpha , \beta}\) , czyli u nas jest to równoważne warunkowi ( w szczególności) (2), i (4) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) (2).
Wobec czego wszystkie te cztery warunki są równoważne, czyli:
Zbór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), dokładnie wtedy, gdy ten zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera się w swoim odbiciu względem \(\displaystyle{ 0}\), i dokładnie wtedy, gdy ten zbiór zawiera swoje odbicie względem \(\displaystyle{ 0}\), co jest równoważne również temu, że ten zbiór jest równy swojemu odbiciu względem \(\displaystyle{ 0.\square}\)
Przejdźmy dalej:
Rozważmy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\).
Wykażemy prawo:
\(\displaystyle{ -\left( A \cup B\right) = \left( -A\right) \cup \left( -B\right);}\)
Czyli wykażemy, że odbicie sumy tych dwóch zbiorów jest równe sumie odbić.
Zauważmy najpierw, że funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\), dana jako:
\(\displaystyle{ f(x)=-x,}\)
jest bijekcją, możemy to łatwo udowodnić.
I zauważmy, że dla zbioru \(\displaystyle{ C \subset \RR}\), mamy:
\(\displaystyle{ \left( -C\right) = \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( C\right),}\)
gdyż:
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( C\right)= \left\{ f(x) : \ x \in C\right\} = \left\{ -x\Bigl| \ x \in C\right\} =-C.\square}\)
W takim razie, dla zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR,}\) mamy:
\(\displaystyle{ -\left( A \cup B\right) = \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A \cup B\right)= \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A\right) \cup \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( B\right)= \left( -A\right) \cup \left( -B\right) .}\)
W podobny sposób możemy udowodnić, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A, B \subset \RR}\), mamy prawo:
\(\displaystyle{ -\left( A \cap B\right) = \left( -A\right) \cap \left( -B\right) ,}\)
czyli odbicie przekroju tych dwóch zbiorów jest równe przekrojowi odbić.
W podobny sposób możemy to udowodnić (korzystając z tego, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa).
I w podobny sposób możemy udowodnić prawo (dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A, B \subset \RR}\)), mamy wtedy:
\(\displaystyle{ -\left( A \setminus B\right) = \left( -A\right) \setminus \left( -B\right) ,}\)
czyli odbicie różnicy jest równe różnicy odbić.
Dowód jest identyczny.
I w podobny sposób możemy udowodnić prawo (dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\)), mamy wtedy:
\(\displaystyle{ -\left( A\oplus B\right) = \left( -A\right)\oplus \left( -B\right) ,}\)
czyli odbicie różnicy symetrycznej tych dwóch zbiorów jest równe różnicy symetrycznej odbić,
w podobny sposób możemy to udowodnić (korzystając z tego, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, a dla bijekcji między dwoma zbiorami, dla dwóch podzbiorów dziedziny funkcji, wtedy obraz różnicy symetrycznej tych dwóch podzbiorów jest równy różnicy symetrycznej obrazów- jest to prosty fakt).
Udowodniłem ten fakt również innym sposobem, korzystając z powyższych faktów :
\(\displaystyle{ -\left( A\oplus B\right)= -\left[ \left( A \cup B\right) \setminus \left( A \cap B\right) \right] = }\)
i, korzystając z tego, że odbicie różnicy dwóch zbiorów jest równe różnicy odbić, więc to jest równe:
\(\displaystyle{ =\left[ -\left( A \cup B\right) \right] \setminus \left[ -\left( A \cap B\right) \right] = }\)
i, dalej korzystamy z tego, że odbicie sumy dwóch zbiorów jest równe sumie odbić, oraz z tego, że odbicie przekroju jest równe przekrojowi odbić, a zatem to jest równe:
\(\displaystyle{ =\left[ \left( -A\right) \cup \left( -B\right) \right] \setminus \left[ \left( -A\right) \cap \left( -B\right) \right] \stackrel{C\oplus D = \left( C \cup D\right) \setminus \left( C \cap D\right) }{=} \left( -A\right) \oplus \left( -B\right).\square}\)
Wykażemy jeszcze, zgodnie z zapowiedzią, tzw. 'zasada indukcji dla zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem', tzn.:
Rozważmy podzbiór \(\displaystyle{ A \subset \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) , taki, że:
(1): \(\displaystyle{ 0 \in A}\), i
(2): \(\displaystyle{ \hbox{ jeśli } n \in A, \hbox{ to } \left( n-1\right) \in A.}\)
Wykażemy, że \(\displaystyle{ A=\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} .}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Rozważmy odbicie tego zbioru \(\displaystyle{ A}\), względem \(\displaystyle{ 0}\), tzn. rozważmy zbiór:
\(\displaystyle{ \left( -A\right) = \left\{ -a\Bigl| \ a \in A\right\}.}\)
I zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ a \in A \subset \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) , to \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą całkowitą ujemną bądź zerem, a więc w szczególności jest liczbą całkowitą, wtedy \(\displaystyle{ \left( -a\right) }\) jest również liczbą całkowitą, i mamy \(\displaystyle{ a \le 0}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( -a\right) \ge 0}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( -a\right) \in \NN}\), i \(\displaystyle{ \left( -A\right) \subset \NN.}\)
Spróbujmy do tego zbioru zastosować zasadę indukcji dla liczb naturalnych.
Mamy \(\displaystyle{ 0 \in A}\), a zatem \(\displaystyle{ -0=0 \in \left( -A\right)}\) , co dowodzi podstawy indukcji.
Krok indukcyjny:
Jeśli \(\displaystyle{ n \in \left( -A\right)}\), to \(\displaystyle{ n=-m}\), gdzie \(\displaystyle{ m \in A}\).
Wtedy, na mocy naszych założeń: \(\displaystyle{ \left( m-1\right) \in A}\), a zatem \(\displaystyle{ -\left( m-1\right) \in \left( -A\right).}\) Ale \(\displaystyle{ -\left( m-1\right) = -m+1= n+1 \in \left( -A\right)}\)- krok indukcyjny został dowiedziony.
Na mocy zasady indukcji dla liczb naturalnych: \(\displaystyle{ \left( -A\right) =\NN}\),
a zatem:
\(\displaystyle{ A= -\left( -A\right) = -\NN= \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} .\square}\)
Na koniec podam jeden zaległy dowodzik o którym zapomniałem:
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X,}\)
oraz dowolną relację \(\displaystyle{ R}\) w zbiorze \(\displaystyle{ X.}\)
Zbadamy, kiedy można wyznaczyć największą część relacji \(\displaystyle{ R}\), część antysymetryczną, tzn. największą, względem inkluzji, relacją antysymetryczną, zawartą w relacji \(\displaystyle{ R.}\)
ROZWIĄZANIE:
Jeśli relacja \(\displaystyle{ R}\) jest antysymetryczna, to \(\displaystyle{ S=R \subset R}\) jest niewątpliwie największą relacją antysymetryczną, zawartą w relacji \(\displaystyle{ R.}\)
Jeśli relacja \(\displaystyle{ R}\) nie jest antysymetryczna, to oznacza, że \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R}\); \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in R}\) i \(\displaystyle{ x \neq y}\), dla pewnych różnych elementów \(\displaystyle{ x,y \in X}\).
Pokażemy, że wtedy nie istnieje największa część relacji \(\displaystyle{ R}\), część antysymetryczna.
Przypuśćmy nie wprost, że taka relacja istnieje, nazwijmy ją \(\displaystyle{ S}\).
Wtedy \(\displaystyle{ S \subset R,}\) i relacja \(\displaystyle{ S}\) jest antysymetryczna. Łatwo jest przekonać się, że relacje jednopunktowe \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y\right) \right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ \left( y,x\right) \right\}}\) są antysymetryczne, i mamy \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y\right) \right\} \subset R}\) (bo \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R}\) ), oraz \(\displaystyle{ \left\{ \left( y,x\right) \right\} \subset R}\) (bo \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in R}\)). Ponieważ relacja \(\displaystyle{ S \subset R}\) jest największą częścią relacji \(\displaystyle{ R}\), częścią antysymetryczną, więc możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y\right) \right\} \subset S}\), oraz że \(\displaystyle{ \left\{ \left( y,x\right) \right\} \subset S}\), skąd \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S}\) i \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in S}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x \neq y}\), to relacja \(\displaystyle{ S}\) nie jest antysymetryczna- sprzeczność.
Wobec czego nie istnieje największa część relacji \(\displaystyle{ R}\), część antysymetryczna.
Wobec czego: istnieje największa część relacji \(\displaystyle{ R}\), część antysymetryczna, dokładnie wtedy, gdy cała relacja \(\displaystyle{ R}\) jest antysymetryczna. \(\displaystyle{ \square}\)
\(\displaystyle{ -A=\left\{ -a\Bigl| \ a \in A\right\} ,}\)
zbiór takich wartości przeciwnych, do elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\), nazwijmy odbiciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), względem \(\displaystyle{ 0.}\)
Udowodniłem wczoraj, że dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\), jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), dokładnie wtedy, gdy zawiera się w swoim odbiciu względem \(\displaystyle{ 0,}\) jak również, dokładnie wtedy, gdy zawiera swoje odbicie względem \(\displaystyle{ 0}\), jak również, dokładnie wtedy, gdy jest równy swojemu odbiciu względem \(\displaystyle{ 0.}\)
Udowodniłem też wczoraj, że jeśli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\), to odbicie, względem \(\displaystyle{ 0}\), sumy tych dwóch zbiorów jest równe sumie odbić, jak i udowodniłem, że odbicie przekroju tych dwóch zbiorów jest równe przekrojowi odbić, i udowodniłem dwa podobne fakty z różnioą i różnicą symetryczną (ten ostatni fakt udowodniłem na dwa sposoby).
Udowodonilem też ostatnio tak zwaną "zasadę indukcji dla zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem', tzn. jeśli mamy podzbiór \(\displaystyle{ A \subset \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), i zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera \(\displaystyle{ 0}\) (jako element), i zbiór \(\displaystyle{ A}\) z każdym swoim elementem zawiera również jego poprzednik, to \(\displaystyle{ A=\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\)- zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest równy zbiorowi liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem. Przestawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ A \subset \RR.}\)
Wykażemy, że następujące warunki są równoważne:
(1): \(\displaystyle{ \hbox{Zbiór } A \hbox{ jest zbiorem symetrycznym względem } 0 ;}\)
(2): \(\displaystyle{ A \subset \left( -A\right);}\)
(3): \(\displaystyle{ A\supset \left( -A\right);}\)
(4): \(\displaystyle{ A=\left( -A\right).}\)
Wykażemy najpierw, że warunek (1) jest równoważny warunkowi (2).
DOWÓD TEGO FAKTU::
Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ A_1, A_2 \subset \RR,}\) i \(\displaystyle{ A_1 \subset A_2}\), to \(\displaystyle{ \left( -A_1\right) \subset \left( -A_2\right)}\)
czyli odbicie, względem \(\displaystyle{ 0}\), zbioru większego jest większe, oto:
ILUSTRACJA TEGO FAKTU:\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
I:
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU::
\(\displaystyle{ -\left( -A\right)= A}\),
gdyż:
\(\displaystyle{ -\left( -A\right) = \left\{ -b\Bigl| \ b \in \left( -A\right) \right\} = \left\{ -\left( -b\right) \Bigl| \ b \in A\right\} =\left\{ b\Bigl| \ b \in A\right\} =A.\square }\)
W związku z czym, możemy łatwo zakończyć nasze zadanie:
Gdyż jeśli \(\displaystyle{ A \subset \left( -A\right)}\), to na mocy powyższego Lematu: \(\displaystyle{ \left( -A\right) \subset -\left( -A\right) =A}\),
a więc z warunku (2) wynika warunek (3).
A jesli \(\displaystyle{ A\supset \left( -A\right) }\), to \(\displaystyle{ A= -\left( -A\right) \subset \left( -A\right) ,}\)
wobec czego warunki (2) i (3) są równoważne.
Czyli (1)\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) (2) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) (3).
Pozostał do rozważenia warunek (4) .
Niewątpliwie:
\(\displaystyle{ A= \left( -A\right) \Longleftrightarrow A \subset \left( -A\right) \hbox{ i } A\supset \left( -A\right) \Longleftrightarrow }\) (2) \(\displaystyle{ \hbox{ i }}\) (3) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) (2),
gdyż warunki (2) i (3) są równoważne, a jeśli dwie formuły \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są równoważne, to ich koniunkcja jest równoważna obydwóm składnikom tej koniunkcji, czyli \(\displaystyle{ \left( \alpha \wedge \beta \right) \Leftrightarrow \alpha , \beta}\) , czyli u nas jest to równoważne warunkowi ( w szczególności) (2), i (4) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) (2).
Wobec czego wszystkie te cztery warunki są równoważne, czyli:
Zbór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), dokładnie wtedy, gdy ten zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera się w swoim odbiciu względem \(\displaystyle{ 0}\), i dokładnie wtedy, gdy ten zbiór zawiera swoje odbicie względem \(\displaystyle{ 0}\), co jest równoważne również temu, że ten zbiór jest równy swojemu odbiciu względem \(\displaystyle{ 0.\square}\)
Przejdźmy dalej:
Rozważmy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\).
Wykażemy prawo:
\(\displaystyle{ -\left( A \cup B\right) = \left( -A\right) \cup \left( -B\right);}\)
Czyli wykażemy, że odbicie sumy tych dwóch zbiorów jest równe sumie odbić.
Zauważmy najpierw, że funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\), dana jako:
\(\displaystyle{ f(x)=-x,}\)
jest bijekcją, możemy to łatwo udowodnić.
I zauważmy, że dla zbioru \(\displaystyle{ C \subset \RR}\), mamy:
\(\displaystyle{ \left( -C\right) = \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( C\right),}\)
gdyż:
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( C\right)= \left\{ f(x) : \ x \in C\right\} = \left\{ -x\Bigl| \ x \in C\right\} =-C.\square}\)
W takim razie, dla zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR,}\) mamy:
\(\displaystyle{ -\left( A \cup B\right) = \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A \cup B\right)= \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A\right) \cup \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( B\right)= \left( -A\right) \cup \left( -B\right) .}\)
W podobny sposób możemy udowodnić, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A, B \subset \RR}\), mamy prawo:
\(\displaystyle{ -\left( A \cap B\right) = \left( -A\right) \cap \left( -B\right) ,}\)
czyli odbicie przekroju tych dwóch zbiorów jest równe przekrojowi odbić.
W podobny sposób możemy to udowodnić (korzystając z tego, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa).
I w podobny sposób możemy udowodnić prawo (dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A, B \subset \RR}\)), mamy wtedy:
\(\displaystyle{ -\left( A \setminus B\right) = \left( -A\right) \setminus \left( -B\right) ,}\)
czyli odbicie różnicy jest równe różnicy odbić.
Dowód jest identyczny.
I w podobny sposób możemy udowodnić prawo (dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\)), mamy wtedy:
\(\displaystyle{ -\left( A\oplus B\right) = \left( -A\right)\oplus \left( -B\right) ,}\)
czyli odbicie różnicy symetrycznej tych dwóch zbiorów jest równe różnicy symetrycznej odbić,
w podobny sposób możemy to udowodnić (korzystając z tego, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, a dla bijekcji między dwoma zbiorami, dla dwóch podzbiorów dziedziny funkcji, wtedy obraz różnicy symetrycznej tych dwóch podzbiorów jest równy różnicy symetrycznej obrazów- jest to prosty fakt).
Udowodniłem ten fakt również innym sposobem, korzystając z powyższych faktów :
\(\displaystyle{ -\left( A\oplus B\right)= -\left[ \left( A \cup B\right) \setminus \left( A \cap B\right) \right] = }\)
i, korzystając z tego, że odbicie różnicy dwóch zbiorów jest równe różnicy odbić, więc to jest równe:
\(\displaystyle{ =\left[ -\left( A \cup B\right) \right] \setminus \left[ -\left( A \cap B\right) \right] = }\)
i, dalej korzystamy z tego, że odbicie sumy dwóch zbiorów jest równe sumie odbić, oraz z tego, że odbicie przekroju jest równe przekrojowi odbić, a zatem to jest równe:
\(\displaystyle{ =\left[ \left( -A\right) \cup \left( -B\right) \right] \setminus \left[ \left( -A\right) \cap \left( -B\right) \right] \stackrel{C\oplus D = \left( C \cup D\right) \setminus \left( C \cap D\right) }{=} \left( -A\right) \oplus \left( -B\right).\square}\)
Wykażemy jeszcze, zgodnie z zapowiedzią, tzw. 'zasada indukcji dla zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem', tzn.:
Rozważmy podzbiór \(\displaystyle{ A \subset \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) , taki, że:
(1): \(\displaystyle{ 0 \in A}\), i
(2): \(\displaystyle{ \hbox{ jeśli } n \in A, \hbox{ to } \left( n-1\right) \in A.}\)
Wykażemy, że \(\displaystyle{ A=\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} .}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Rozważmy odbicie tego zbioru \(\displaystyle{ A}\), względem \(\displaystyle{ 0}\), tzn. rozważmy zbiór:
\(\displaystyle{ \left( -A\right) = \left\{ -a\Bigl| \ a \in A\right\}.}\)
I zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ a \in A \subset \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) , to \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą całkowitą ujemną bądź zerem, a więc w szczególności jest liczbą całkowitą, wtedy \(\displaystyle{ \left( -a\right) }\) jest również liczbą całkowitą, i mamy \(\displaystyle{ a \le 0}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( -a\right) \ge 0}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( -a\right) \in \NN}\), i \(\displaystyle{ \left( -A\right) \subset \NN.}\)
Spróbujmy do tego zbioru zastosować zasadę indukcji dla liczb naturalnych.
Mamy \(\displaystyle{ 0 \in A}\), a zatem \(\displaystyle{ -0=0 \in \left( -A\right)}\) , co dowodzi podstawy indukcji.
Krok indukcyjny:
Jeśli \(\displaystyle{ n \in \left( -A\right)}\), to \(\displaystyle{ n=-m}\), gdzie \(\displaystyle{ m \in A}\).
Wtedy, na mocy naszych założeń: \(\displaystyle{ \left( m-1\right) \in A}\), a zatem \(\displaystyle{ -\left( m-1\right) \in \left( -A\right).}\) Ale \(\displaystyle{ -\left( m-1\right) = -m+1= n+1 \in \left( -A\right)}\)- krok indukcyjny został dowiedziony.
Na mocy zasady indukcji dla liczb naturalnych: \(\displaystyle{ \left( -A\right) =\NN}\),
a zatem:
\(\displaystyle{ A= -\left( -A\right) = -\NN= \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} .\square}\)
Na koniec podam jeden zaległy dowodzik o którym zapomniałem:
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X,}\)
oraz dowolną relację \(\displaystyle{ R}\) w zbiorze \(\displaystyle{ X.}\)
Zbadamy, kiedy można wyznaczyć największą część relacji \(\displaystyle{ R}\), część antysymetryczną, tzn. największą, względem inkluzji, relacją antysymetryczną, zawartą w relacji \(\displaystyle{ R.}\)
ROZWIĄZANIE:
Jeśli relacja \(\displaystyle{ R}\) jest antysymetryczna, to \(\displaystyle{ S=R \subset R}\) jest niewątpliwie największą relacją antysymetryczną, zawartą w relacji \(\displaystyle{ R.}\)
Jeśli relacja \(\displaystyle{ R}\) nie jest antysymetryczna, to oznacza, że \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R}\); \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in R}\) i \(\displaystyle{ x \neq y}\), dla pewnych różnych elementów \(\displaystyle{ x,y \in X}\).
Pokażemy, że wtedy nie istnieje największa część relacji \(\displaystyle{ R}\), część antysymetryczna.
Przypuśćmy nie wprost, że taka relacja istnieje, nazwijmy ją \(\displaystyle{ S}\).
Wtedy \(\displaystyle{ S \subset R,}\) i relacja \(\displaystyle{ S}\) jest antysymetryczna. Łatwo jest przekonać się, że relacje jednopunktowe \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y\right) \right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ \left( y,x\right) \right\}}\) są antysymetryczne, i mamy \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y\right) \right\} \subset R}\) (bo \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R}\) ), oraz \(\displaystyle{ \left\{ \left( y,x\right) \right\} \subset R}\) (bo \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in R}\)). Ponieważ relacja \(\displaystyle{ S \subset R}\) jest największą częścią relacji \(\displaystyle{ R}\), częścią antysymetryczną, więc możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y\right) \right\} \subset S}\), oraz że \(\displaystyle{ \left\{ \left( y,x\right) \right\} \subset S}\), skąd \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S}\) i \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in S}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x \neq y}\), to relacja \(\displaystyle{ S}\) nie jest antysymetryczna- sprzeczność.
Wobec czego nie istnieje największa część relacji \(\displaystyle{ R}\), część antysymetryczna.
Wobec czego: istnieje największa część relacji \(\displaystyle{ R}\), część antysymetryczna, dokładnie wtedy, gdy cała relacja \(\displaystyle{ R}\) jest antysymetryczna. \(\displaystyle{ \square}\)