Niezależność zdarzeń

[Studentka_mat]

Adam, Barnaba i Czesław strzelają do tarczy. Prawdopodobieństwo trafienia wynosi p. Wiadomo, że dwóch trafiło. Obliczyć prawdopodobieństwo, że Czesław trafił.
Gdy oznaczę sobie
A-trafił Adam
B-trafił Barnaba
C-trafił Czesław
to czy mam policzyć \(\displaystyle{ P(C \setminus (A \cap B \cap C))}\)? Jeśli tak to ile wynoszą te prawdopodobieństwa?

[mat_61]

Wskazówka:

Masz obliczyć p-stwo trafienia w tarczę przez C pod warunkiem, że dwóch strzelców trafiło:

\(\displaystyle{ P(C/X)= \frac{P(C \cap X)}{P(X)}}\)

C - trafił Czesław
X - trafiło dwóch zawodników

[Studentka_mat]

To ile będzie wynosiło \(\displaystyle{ P(C \cap X)}\)?
Bo sam wzór nie wiele mi mówi.

[mat_61]

Nie wiem czy miałaś już p-stwo warunkowe. Jeżeli tak, to wzór powinien być Ci znany i wóczas skorzystaj z poniższej wskazówki.

Zastanów się jakie jest p-stwo zdarzenia, że trafił Czesław i trafiło dwóch zawodników. Jakie wyniki strzelań są zdarzeniami sprzyjającymi? Załóżmy, że trafienie oznaczymy przez \(\displaystyle{ \circ}\) natomiast pudło przez \(\displaystyle{ \times}\). Zdarzenia sprzyjające, to:

\(\displaystyle{ C \cap X=\left\{ A \rightarrow \circ \ B \rightarrow \times \ C \rightarrow \circ \ ; ... (?)\right\}}\)

Uzupełnij ten zapis i oblicz \(\displaystyle{ P(C \cap X)}\) pamiętając, że p-stwo pojedynczego trafienia wynosi \(\displaystyle{ p}\) a spudłowania \(\displaystyle{ \left( 1-p\right)}\)

Jeżeli p-stwo warunkowe jest Ci nieznane, to możesz zrobić też tak, że przestrzenią zdarzeń elementarnych będą takie wszystkie strzelania, że są dwa trafienia i jedno pudło, natomiast zdarzenia sprzyjające to takie, że wśród tych dwóch trafień jest strzał oddany przez Czesława.

[Studentka_mat]

Czyli zdarzeniami sprzyjającymi będzie \(\displaystyle{ P(B \cap C) \vee P(A \cap C)}\) tak?

[mat_61]

Ale każde takie zdarzenie, to wyniki strzałów trzech zawodników, a nie tylko dwóch, czyli powinny to być zdarzenia:

\(\displaystyle{ A' \cap B \cap C \ oraz \ A \cap B' \cap C}\)

[Studentka_mat]

To czy szukane prawdopodobieństwo tyle wynosi?
\(\displaystyle{ \frac{p \cdot q \cdot p+q \cdot p \cdot p}{p \cdot p}= \frac{2 p^{2}(1-p) }{p^{2}}=2(1-p)}\)

[pyzol]

\(\displaystyle{ P(X)}\) źle policzone
\(\displaystyle{ P(X)=3p^2 q}\)

[mat_61]

Nie, bo w mianowniku ma być p-stwo takiego zdarzenia, że trafi dwóch, dowolnych zawodników. Jakie odpowiadają temu zdarzenia elementarne?
Ponadto zauważ, że np. dla \(\displaystyle{ p=0,3}\) obliczone wg Twojej propozycji p-stwo wyniesie \(\displaystyle{ P(C/X)=1,4 (?)}\)

[Madzzia]

Pozwolę sobie odkopać ten post
Czy odpowiedź:
\(\displaystyle{ \frac{p \cdot p \cdot (1-p)}{p \cdot p} }\)
Jest poprawna?