znalezienie rozkładu zmiennych losowych

[Terminator7]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego zadania. Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie \(\displaystyle{ U(0, 1)}\). Definiujemy nowe zmienne losowe \(\displaystyle{ U=\sqrt{-\ln(X)}\cos(2 \pi Y), V=\sqrt{-\ln(X)}\sin(2 \pi Y)}\). Znajdź rozkład tych zmiennych losowych. Czy są to zmienne niezależne?

[Dasio11]

Mamy \(\displaystyle{ (U, V) = \varphi(X, Y)}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi : (0, 1)^2 \to \RR^2}\), \(\displaystyle{ \varphi(x, y) = \begin{pmatrix} \sqrt{-\ln(x)} \cos( 2 \pi y ) \\ \sqrt{-\ln(x)} \sin(2 \pi y) \end{pmatrix}}\). Dla dowolnego \(\displaystyle{ B \in \mathrm{Bor}(\RR^2)}\) mamy więc

\(\displaystyle{ P \big( (U, V) \in B \big) = P \big( \varphi(X, Y) \in B \big) = P \big( (X, Y) \in \varphi^{-1}[{B}] \big) = \int \limits_{\varphi^{-1}[{B}]} 1 \, \dd \lambda}\).

Z twierdzenia o zamianie zmiennych dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f : \RR^2 \to \RR}\) i \(\displaystyle{ A \in \mathrm{Bor}((0, 1)^2)}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \int \limits_{\varphi[A]} f(u, v) \, \dd \lambda = \int \limits_{A} f(\varphi(x, y)) \cdot |J_{\varphi}(x, y)| \, \dd \lambda}\)

gdzie \(\displaystyle{ J_{\varphi}}\) oznacza jakobian funkcji \(\displaystyle{ \varphi}\). Jest on równy

\(\displaystyle{ J_{\varphi}(x, y) = \det \begin{pmatrix} -\frac{1}{2x \sqrt{-\ln(x)}} \cos( 2 \pi y ) & - 2\pi \sqrt{-\ln(x)} \sin(2 \pi y) \\ -\frac{1}{2x \sqrt{-\ln(x)}} \sin(2 \pi y) & 2\pi \sqrt{-\ln(x)} \cos( 2 \pi y) \end{pmatrix} = -\frac{\pi}{x}}\).

Aby zatem zastosować wzór na zamianę zmiennych dla \(\displaystyle{ A = \varphi^{-1}[{B}]}\), musimy znaleźć funkcję \(\displaystyle{ f : \RR^2 \to \RR}\) spełniającą

\(\displaystyle{ f(\varphi(x, y)) \cdot \frac{\pi}{x} = 1}\).

Nietrudno zgadnąć, że taką funkcją jest \(\displaystyle{ f(u, v) = \frac{1}{\pi} e^{-u^2-v^2}}\). Dostajemy więc

\(\displaystyle{ \int \limits_{\varphi^{-1}[{B}]} 1 \, \dd \lambda = \int \limits_{\varphi^{-1}[{B}]} f(\varphi(x, y)) \cdot \frac{\pi}{x} \, \dd \lambda = \int \limits_B f(u, v) \, \dd \lambda = \int \limits_B \frac{1}{\pi} e^{-u^2-v^2} \, \dd \lambda}\).

Oznacza to, że wektor \(\displaystyle{ (U, V)}\) ma rozkład ciągły o gęstości \(\displaystyle{ f(u, v) = \frac{1}{\pi} e^{-u^2-v^2} }\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\).

Ponieważ funkcję gęstości można zapisać jako iloczyn funkcji zależnych od pojedynczych zmiennych:

\(\displaystyle{ f(u, v) = \frac{1}{\pi} \cdot e^{-u^2} \cdot e^{-v^2}}\),

łatwo wynika stąd, że zmienne \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) są niezależne.