Prawdopodobieństwo geometryczne.

[Madzzia]

Na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\) umieszczono losowo punkty \(\displaystyle{ A_1, A_2, A_3}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ A_1 \le A_2 \le A_3}\).

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{1}{6} }\)

Prosiłabym o wyjaśnienie tego zadania ( tylko proszę nie całkami - widziałam już takie rozwiązanie i kompletnie do mnie nie przemawia 0.

[a4karo]

Punkt `(A_1,A_2,A_3)` leży w sześcianie jednostkowym. Czym jest obszar opisany nierównościami `A_1\le A_2\le A_3`? Wzór na objetość tego obszaru jest powszechnie znany.

[Madzzia]

To będzie ostrosłup, który w podstawie ma trójkąt prostokątny.
Jeżeli przez \(\displaystyle{ x,y,z}\) oznaczę odległości odpowiednio punktów \(\displaystyle{ A_1,A_2,A_3}\) to obliczając objętość figury otrzymam.
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{6} \cdot x \cdot y \cdot z }\)
Co dalej?

[a4karo]

Pierwsze zdanie jest ok. Czy wiesz jakie są wierzchołki tego ostrosłupa? Jaka jest jego objętość? (Uwaga, ten ostrosłup nie zależy od `A_i`).

Drugiego zdania nie rozumiem. Odległości mierzymy zawsze między czymś lub od czegoś, więc nie istnieje coś takiego jak odległość punktu.

[Madzzia]

Mówiąc szczerze, nie wiem jak należy to zrobić.
Chciałam odnieść to do sytuacji gdy np. na odcinku umieszczałam losowo dwa punkty.
Wtedy pracowałam na kwadracie jednostkowym w którym miałam dwie "osie" \(\displaystyle{ x,y}\).

Czy wiesz jakie są wierzchołki tego ostrosłupa? Jaka jest jego objętość?

Nie za bardzo :/

[a4karo]

A teraz masz jeszcze trzecią. Które z wierzchołków sześcianu należą do ego ostroslupa?

[Madzzia]

No jeden wierzchołek tego sześcianu będzie należał do ostrosłupa?

[a4karo]

Trochę więcej. Czy n.p. `(0,1,1)` będzie w ostrosłupie?
A `(1,0,1)`?

[Madzzia]

Trochę więcej. Czy n.p. `(0,1,1)` będzie w ostrosłupie?
A `(1,0,1)`?

\(\displaystyle{ \left( 0,1,1\right) }\)
Tak
\(\displaystyle{ \left( 1,0,1\right) }\)
Nie

[a4karo]

No to które jeszcze będą?

[Madzzia]

Wszystkie spełniające warunek z zadania

[a4karo]

No to weź sobie pudełko, popatrz gdzie te wierzchołki leżą i policz objętość ostrosłupa

[Madzzia]

Okej, ale objętość tego trójkąta zależy od punktów które wezmę.
Może być \(\displaystyle{ (0,0.5,1)}\), a może być \(\displaystyle{ (0.1,0.2,0.3)}\)...

[a4karo]

Przede wszystkim trójkąt nie ma objętości.

Po drugie interesuje cię objętość zbioru punktów, których pierwszą współrzędna jest mniejsza od drugiej a druga od trzeciej, bo każdy taki punkt jest twoim zdarzeniem sprzyjającym

Dodano po 4 minutach 58 sekundach:
Nie interesuje cię jakie punkty wybrano tylko objętość zbioru, którego elementy spełniają zadane warunki.

[Madzzia]

Mogłabym prosić o rozwiązanie? Nie potrafię tego rozwiązać, a Pańskie odpowiedzi nie wiele mi pomagają, gdyż przed zadaniem pytania wiedziałam dokładnie tyle co teraz