granica ciągu

[Endus]

\(\displaystyle{ lim (\frac{5 - 3n^3}{6 - 3n^3})^{n^4} = lim (\frac{-3 +\frac{5}{n^3}}{ - 3 +\frac{6}{n^3}})^{n^4} = lim -3(\frac{1 +\frac{1}{\frac{-3n^3}{5}}}{ 1 +\frac{1}{\frac{-3n^3}{6}}})^{n^4} = -3e ^{\frac{1}{3}}}\)

Czy mógłby ktoś sprawdzić?

[Nakahed90]

Szczerze mówiąc, nie za bardzo widzę twój tok rozumowania.

[Endus]

\(\displaystyle{ lim (\frac{5 - 3n^3}{6 - 3n^3})^{n^4} = lim (\frac{-3 +\frac{5}{n^3}}{ - 3 +\frac{6}{n^3}})^{n^4} = lim -3(\frac{1 +\frac{1}{\frac{-3n^3}{5}}}{ 1 +\frac{1}{\frac{-3n^3}{6}}})^{n^4} = lim -3(\frac{e^{\frac{-5}{3n^3}}}{e^{\frac{-6}{3n^3}}})^{n^4} = lim -3 \frac{e^{\frac{-5n}{3}}}{e^{\frac{-6n}{3}}} = lim -3e ^{\frac{n}{3}} = - \infty}\)

[Charles90]

mnie wychodzi \(\displaystyle{ e^ {\infty}=0}\) jaką masz odpowiedź?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{5 - 3n^3}{6 - 3n^3}\right)^{n^4}=\lim_{n \to \infty }\left( \frac{6-3n^3-1}{6-3n^3}\right)^{n^4}=\lim_{n \to \infty }\left(1+ \frac{1}{3n^3-6}\right)^{n^4}=\lim_{n \to \infty }\left[\left(1+ \frac{1}{3n^3-6}\right)^{3n^3-6}\right]^{ \frac{n^4}{3n^3-6}} = e^ \infty=0}\)

[Endus]

Twoja wersja wygląda na dobrze (no poza tym \(\displaystyle{ e^{\infty} = 0}\)), więc pewnie mam gdzieś źle, tylko nie widze i będę wdzięczny za oświecenie....

[Charles90]

\(\displaystyle{ lim (\frac{5 - 3n^3}{6 - 3n^3})^{n^4} = lim (\frac{-3 +\frac{5}{n^3}}{ - 3 +\frac{6}{n^3}})^{n^4} = lim -3(\frac{1 +\frac{1}{\frac{-3n^3}{5}}}{ 1 +\frac{1}{\frac{-3n^3}{6}}})^{n^4} = lim -3(\frac{e^{\frac{-5}{3n^3}}}{e^{\frac{-6}{3n^3}}})^{n^4} = lim -3 \frac{e^{\frac{-5n}{3}}}{e^{\frac{-6n}{3}}} = lim -3e ^{\frac{n}{3}} = - \infty}\)

po 1) niepotrzebnie wyciągnąłeś -3, lepiej byłoby samą trójkę jeżeli by robić w ten sposób jak Ty.
po 2) jeżeli wyciągnąłeś coś przed nawias to nadal to należy podnieść do potęgi, do której był nawias - działania na potęgach sie kłaniają: \(\displaystyle{ (a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n}\)
po 3) nie znasz chyba definicji liczby e - \(\displaystyle{ \left(1+ \frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e \ \ gdzie \ a_n \rightarrow + \infty}\), a u Ciebie dąży do minus nieskończoności przez to -3,
po 4) zobacz co z -3 się dzieje, ona przybiera wartości naprzemiennie dodatnie i ujemne dla n=1 otrzymujesz -3, dla n=2 otrzymujesz \(\displaystyle{ (-3)^{16}}\) - czyli dodatnie.

Chyba wystarczająco dałem Ci wskazówek, co źle.

Powodzenia.

[Lorek]

po 3) nie znasz chyba definicji liczby e - \(\displaystyle{ \left(1+ \frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e \ \ gdzie \ a_n \rightarrow + \infty}\), a u Ciebie dąży do minus nieskończoności przez to -3,

Jak \(\displaystyle{ a_n\to -\infty}\) to też mamy \(\displaystyle{ e}\). Poza tym ja bym na początku zrobił tak:
\(\displaystyle{ \frac{5-3n^3}{6-3n^3}=\frac{3n^3-5}{3n^3-6}}\)
i nie ma problemów z minusami/plusami.