Dwa zadani z funkcji kwadratowej.

[sebol__14]

Cześć, przygotowuję się po mału do matury z matematyki ale mam problem z dwoma zadaniami. Byłbym wdzięczny za jakiekolwiek wskazówki.

1. Punkt \(\displaystyle{ A=(2,-5)}\) jest punktem wspólnym prostej \(\displaystyle{ k}\) o równaniu \(\displaystyle{ y=-2x+b}\) i wykresu funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ f}\). Punkt przecięcia prostej \(\displaystyle{ k}\) z prostą o równaniu \(\displaystyle{ y=-3x+3}\) jest wierzchołkiem wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\). Znajdź wzór funkcji \(\displaystyle{ f}\)i podaj go w postaci ogólnej.

Zacząłem robić to w taki sposób:

\(\displaystyle{ A=(2,-5)}\)

\(\displaystyle{ k:y=-2x+b}\)

wyznaczyłem współczynnik b:

\(\displaystyle{ -5=-2*2+b}\)

\(\displaystyle{ -5=-4+b}\)

\(\displaystyle{ b=-1}\)

\(\displaystyle{ k:y=-2x-1}\)

Roziwązałem graficznie układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-2x-1\\ y=-3x+3 \end{cases}}\)

rozwiązanie to \(\displaystyle{ W=(4,-9)}\), punkt W jest wierzchołkiem paraboli.

Mam dwa punkty paraboli i wierzchołek więc mogę obliczyć z postaci kanonicznej współczynnik a funkcji kwadratowej f:

\(\displaystyle{ - \frac{b}{2a} =4}\)

\(\displaystyle{ -\frac{\Delta&}{4a}=-9}\)

\(\displaystyle{ y=a(x+ \frac{b}{2a}) ^{2} - \frac{\Delta&}{4a}}\)

\(\displaystyle{ -5=a(2-4) ^{2} +9}\)

\(\displaystyle{ -5=4a+9}\)

\(\displaystyle{ -14=4a}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{14}{4} = \frac{7}{2}}\)

I coś tutaj jest nie tak bo w odpowiedziach jest napisane, że współczynnik a=1. Coś mi się wydaje, że pomotałem gdzieś w znakach ale patrzyłem 40 min i nic nie znalazłem.

2. Liczby 2 i 4 sa miejscami zerowymi funkcji \(\displaystyle{ f(x)=ax ^{2} +bx+16}\). Wyznacz współczynniki a i b.

W tym drugim prosiłbym o jakąś wskazówkę z czego skorzystać bo nad tym też siedziałem trochę czasu i nic mi do głowy nie przyszło.

[tometomek91]

1.

Mam dwa punkty paraboli i wierzchołek więc mogę obliczyć z postaci kanonicznej współczynnik a funkcji kwadratowej f:

Wydaje mi się, że znamy tylko jeden punkt (mianowicie punkt A) i wierzchołek. Gdybyśmy mieli faktycznie te dwa punkty, to byloby znacznie łatwiej:)
2. Skorzystaj ze wzorów Viete'a.

[sebol__14]

Jak znamy jeden punkt i wierzchołek to znamy też drugi punkt ale nie wziąłem go do obliczeń jest to \(\displaystyle{ Z=(6,-5)}\).

[tometomek91]

Teraz wystarczy podstawić:
\(\displaystyle{ y=\frac{(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})} \cdot y_{1}+\frac{(x-x_{1})(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})} \cdot y_{2}+\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})} \cdot y_{3}}\)
Lub (lepiej) ułożyc układ trzech równań.

[sebol__14]

Skąd to wszystko wziąłeś?

[agulka1987]

2. wzory Viete'a

\(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}}\)

\(\displaystyle{ 2 \cdot 4 = \frac{16}{a} \Rightarrow a=2}\)

\(\displaystyle{ x_a{1}+x_{2} = \frac{-b}{a}}\)

\(\displaystyle{ 2+4 = \frac{-b}{2} \Rightarrow b=-12}\)

\(\displaystyle{ f(x)=2x^2-12x+16}\)

[sebol__14]

Wytłumaczy mi ktoś skąd tometomek91 wziął ten cały zapis?

[XYY]

w pierwszym wzór postaci kanonicznej jest źle zapisany(jest \(\displaystyle{ - ( - \frac{\Delta&}{4a})}\) zamiast \(\displaystyle{ + (-\frac{\Delta&}{4a})}\)

i \(\displaystyle{ (-\frac{b}{2a})}\) nie \(\displaystyle{ (\frac{b}{2a})}\)

proponuję jakieś oznaczenia wprowadzić
czyli powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ (- \frac{\Delta&}{4a}) = -9}\)

\(\displaystyle{ y=a(x- (-\frac{b}{2a})) ^{2} + (- \frac{\Delta&}{4a})}\)

inaczej

\(\displaystyle{ y=a(x- p) ^{2} + q}\)

\(\displaystyle{ -5=a(2-4) ^{2} - 9}\)

i wychodzi \(\displaystyle{ a = 1}\)

potem \(\displaystyle{ a}\) podstawiasz znowu do wzoru kanonicznej(oprócz punktu A=(2,-5)) i przekształcasz do wzoru w postaci ogólnej.