Moc zbioru potęgowego

[Darry]

Czy istnieje zbiór \(\displaystyle{ X}\) taki, że \(\displaystyle{ |P(X)|=\aleph_{0}}\)?

[Jakub Gurak]

Jeśli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest skończony, to jaka może być moc jego zbioru potęgowego??
Jeśli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, to jaka może być moc jego zbioru potęgowego??

[Premislav]

Nie. Zbiór \(\displaystyle{ X}\) nie może być skończony, bo gdyby miał \(\displaystyle{ n}\) elementów, \(\displaystyle{ n\in \NN}\), to byłoby po prostu \(\displaystyle{ |P(X)|=2^n}\) (tj. byłaby to też liczba naturalna). Spróbujmy wykazać teraz, że \(\displaystyle{ |P(X)|>|X|}\). Przypuśćmy nie wprost, że jest inaczej. Istnieje wtedy surjekcja \(\displaystyle{ f: X\mapsto P(X)}\). Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ Y=\left\{x\in X: x\notin f(x)\right\}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ Y\in P(X)}\), przeto istnieje takie \(\displaystyle{ y\in X}\), że \(\displaystyle{ f(y)=Y}\) (wszak \(\displaystyle{ f}\) miała być surjekcją). Czy \(\displaystyle{ y\in Y}\)

[Darry]

Dziękuję, a jak już mam pokazane, że \(\displaystyle{ |P(X)|>|X| }\), to jak ściśle przejść do tego, że dla nieskończonego zbioru \(\displaystyle{ |P(X)|>\aleph_{0}}\)?

[Jakub Gurak]

Tu te twierdzenie Cantora- nie jest nawet tu potrzebne, wystarczy tu fakt, że \(\displaystyle{ 2^\NN\sim\RR,}\) gdyż:

Jeśli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest przeliczalny, tzn. \(\displaystyle{ X\sim \NN}\), to \(\displaystyle{ P(X)\sim P(\NN)\sim 2^\NN\sim \RR}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ P(X)}\) jest mocy continuum, w szczególności nie jest przeliczalny.

Jeśli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieprzeliczalny (ściślej rzecz biorąc, gdy nie jest co najwyżej przeliczalny), to \(\displaystyle{ P(X)\supset\left\{ \left\{ x\right\}\Bigl| \ \ x\in X \right\} \sim X}\), a więc \(\displaystyle{ \left| P(X)\right| \ge \left| X\right|}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ P(X)}\) jest nieprzeliczalny.