Udowodnienie podzielności

Adasiek · Post autor: **Adasiek** » 31 paź 2009, o 17:29

Mam problem z takim zadaniem:
Wykaż że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) należącego do liczb naturalnych liczba \(\displaystyle{ 12 ^{n}-5 ^{n}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\)…

Lorek · Post autor: **Lorek** » 31 paź 2009, o 17:35

Jest taki wzór na \(\displaystyle{ a^n-b^n=(cos\ tu\ jest)(tu\ tez\ cos\ jest)}\), wystarczy skorzystać

Adasiek · Post autor: **Adasiek** » 31 paź 2009, o 17:48

No właśnie nie wiem, dla \(\displaystyle{ n=2}\) będzie coś takiego:
\(\displaystyle{ (\sqrt{12}+\sqrt{5})( \sqrt{12}- \sqrt{5} )}\),
ale jak powinno to wyglądać dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\)?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 31 paź 2009, o 18:16

Dla n=2 będzie coś takiego: \(\displaystyle{ (12-5)(12+5)}\) a dla n>2 wzór jest np. w kompendium (przynajmniej kiedyś był )

kammeleon18 · Post autor: **kammeleon18** » 31 paź 2009, o 23:23

albo po prostu
\(\displaystyle{ 12 \equiv 5 \ mod \ 7 \\
12^n \equiv 5^n \ mod \ 7 \\
12^n-5^n \equiv 0 \ mod \ 7}\)