Losowanie kul z urny

[malwinka1058]

W urnie są \(\displaystyle{ 4}\) kule białe i \(\displaystyle{ 2}\) czarne. Wylosowano bez zwracania \(\displaystyle{ 2}\) kule. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę kul czarnych wśród \(\displaystyle{ 2}\) wylosowanych, \(\displaystyle{ Y}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\), gdy pierwsza wylosowana kula jest czarna, natomiast \(\displaystyle{ 0}\), gdy jest biała Wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ X=1}\). Obliczyć \(\displaystyle{ P(X+Y=2), E(X+Y), \rho(X,Y).}\)

[janusz47]

1.
Znajdujemy rozkłady prawdopodobieństwa odpowiednio zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y. }\)

Rozkład zmiennej losowej X

\(\displaystyle{ \begin{tabular} {|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & 0 & 1 &2 \\ \hline
P( X = x_{i})& \frac{12}{30} & \frac{16}{30} & \frac{2}{30} \\ \hline
\end{tabular} }\)

Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular} {|c|c|c|} \hline
y_{i} & 0 & 1 \\ \hline
P(Y = y_{i})& \frac{20}{30} & \frac{10}{30} \\ \hline
\end{tabular} }\)

2.
Wyznaczamy rozkład warunkowy zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y }\) pod warunkiem \(\displaystyle{ X = 1.}\)

\(\displaystyle{ P(Y|X =1) = P(Y =0|X=1) + P(Y =1|X=1) = \frac{P(Y=0 \cap X=1)}{P(X =1)} + \frac{P(Y=1 \cap X=1)}{P(X =1)} = \frac{\frac{8}{30}}{\frac{16}{30}} + \frac{\frac{8}{30}}{\frac{16}{30} } = \frac{8}{16} + \frac{8}{16} = 1.}\)

3,
Obliczamy wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P(X +Y = 2). }\)

W tym celu znajdujemy rozkład łączny wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y).}\)

Rozkład zmiennej losowej (X, Y)

\(\displaystyle{ \begin{tabular} {|c|c|c|c|} \hline
Y\setminus X & 0 & 1 &2 \\ \hline
0 & \frac{24}{90} & \frac{32}{90} & \frac{4}{90} \\ \hline
1 & \frac{12}{90} & \frac{16}{90} &\frac{2}{90} \\ \hline
\end{tabular} }\)


Zmienna losowa \(\displaystyle{ Z = X +Y = 2 }\) przyjmuje wartości ze zbioru \(\displaystyle{ \{1+1, 2+0 \} }\) odpowiednio z prawdopodobieństwami

\(\displaystyle{ \left \{ \frac{16}{90}, \frac{4}{90}\right \}}\)

\(\displaystyle{ P(X+Y = 2) = P(1,1) + P(2,0) = \frac{16}{90} + \frac{4}{90} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}.}\)

4.
Obliczamy wartość średnią (oczekiwaną) sumy zmiennych losowych \(\displaystyle{ E(X + Y).}\)

Najpierw znajdujemy rozkład wektora losowego \(\displaystyle{ Z = X +Y }\)

Zmienna losowa \(\displaystyle{ Z = X +Y }\) przyjmuje wartości ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 0+0, 1+0, 2+0, 0 +1, 1 +1, 2+1 \} = \{ 0, 1, 2, 3\}. }\)

Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X+Y }\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular} {|c|c|c|c|c|} \hline
z_{i} & 0 & 1 &2 & 3\\ \hline
P( Z = z_{i})& \frac{24}{90} & \frac{44}{90} & \frac{20}{90}& \frac{2}{90} \\ \hline
\end{tabular} }\)

\(\displaystyle{ E(X+Y) = 0\cdot \frac{24}{90} + 1 \cdot \frac{44}{90} + 2\cdot \frac{20}{90}+ 3\cdot \frac{2}{90} = \frac{90}{90} =1.}\)

5.
Obliczamy wartość współczynnika korelacji \(\displaystyle{ \rho(X,Y) }\) zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y. }\)

\(\displaystyle{ \rho(X,Y) = \frac{E(X\cdot Y) -E(X)\cdot E(Y)}{\sqrt{D^2(X)}\cdot \sqrt{D^2(Y)}} }\)

\(\displaystyle{ E(X) = 0\cdot \frac{36}{90} + 1\cdot \frac{48}{90} + 2\cdot \frac{6}{90} = \frac{54}{90} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.}\)

\(\displaystyle{ E(Y) = 0\cdot \frac{60}{90} + 1\cdot \frac{30}{90} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.}\)

\(\displaystyle{ E(X \cdot Y) = 0\cdot 1 \cdot \frac{24}{90}+1\cdot 0 \cdot \frac{32}{90}+ 2\cdot 0 \cdot \frac{4}{90}+ 0\cdot 1\cdot \frac{12}{90} + 1\cdot 1\cdot \frac{16}{90}+ 2\cdot 1\cdot \frac{2}{90} = \frac{20}{90}= \frac{2}{9}.}\)

\(\displaystyle{ D^2(X) = 0^2\cdot \frac{36}{90} + 1^2\cdot \frac{48}{90}+2^2\cdot \frac{6}{90} - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{72}{90}- \frac{9}{25} = \frac{11}{25}.}\)

\(\displaystyle{ D^2(Y) = 0^2\cdot \frac{60}{90} + 1^2\cdot \frac{30}{90} - \left(\frac{1}{3}\right)^2= \frac{30}{90} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}.}\)

\(\displaystyle{ \rho(X,Y) = \frac{\frac{2}{9} - \frac{3}{5}\cdot \frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{11}{25}}\cdot \sqrt{\frac{2}{9}}} \approx 0,07.}\)