Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
-
- Użytkownik
- Posty: 389
- Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 214 razy
Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
Udowodnij, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b>1}\) zachodzi: \(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2}>a. }\)
Ostatnio zmieniony 14 sty 2022, o 09:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
WSK. Odejmij `ab` od obu stron.
Ostatnio zmieniony 14 sty 2022, o 09:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 389
- Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 214 razy
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
świetnie, ale dla a ujemnego chyba brakuje pewności co do prawdziwości tezy? Co Ty na to?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
Nie, teza jest prawdziwa.poetaopole pisze: ↑14 sty 2022, o 12:07 świetnie, ale dla a ujemnego chyba brakuje pewności co do prawdziwości tezy?
\(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2}-a>0 \\
\frac{1}{2} ((a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)(b+1))>0
}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 389
- Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 214 razy
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
Jak zawsze KERAJS wyjaśnił wszelkie wątpliwości. Dziękuję (moja uwaga była skierowania do a4karo po wskazówce, aby odjąć \(\displaystyle{ ab}\) od obu stron tezy)
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
Zauważmy, żepoetaopole pisze: ↑14 sty 2022, o 07:12 Udowodnij, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b>1}\) zachodzi: \(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2}>a. }\)
\(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2} = (a-b)^2+ab. }\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a>1}\) i \(\displaystyle{ b>1}\), więc \(\displaystyle{ ab>a}\)
Do tego \(\displaystyle{ (a-b)^2 \ge 0}\)
Zatem
\(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2} = (a-b)^2+ab. \ge ab >a }\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
Błędne rozwiązanie. Nierówność \(\displaystyle{ ab>a}\) jest niepoprawna na przykład dla \(\displaystyle{ a=0}\), a mamy dowieść prawdziwości nierówności dla dowolnych \(\displaystyle{ a\in \RR}\), przynajmniej tak to rozumiem. To \(\displaystyle{ b}\) jest z założenia większe niż \(\displaystyle{ 1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi
NapisPremislav pisze: ↑15 sty 2022, o 12:05 Błędne rozwiązanie. Nierówność \(\displaystyle{ ab>a}\) jest niepoprawna na przykład dla \(\displaystyle{ a=0}\), a mamy dowieść prawdziwości nierówności dla dowolnych \(\displaystyle{ a\in \RR}\), przynajmniej tak to rozumiem. To \(\displaystyle{ b}\) jest z założenia większe niż \(\displaystyle{ 1}\).
rozumiem tak: Dla dowolnego \(\displaystyle{ a>1}\) i dowolnego \(\displaystyle{ b>1.}\)dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b>1}\)
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 00:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy