Czy ktoś mógłby zerknąć okiem na te rozwiązania i ocenić ich poprawność? Ewentualnie wspomóc w rozwiązaniu?
Zbadać czy poniższe zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue’a. Obliczyć miarę Lebesgue’a pod-zbiorów A i B zbioru R. Odpowiedzi uzasadnić powołując się na odpowiednie własności miary Lebesgue’a.
a) \(\displaystyle{ A= \bigcup_{n=0}^{ \infty } (n- \frac{1}{10};n+ \frac{1}{10} ) }\)
b) \(\displaystyle{ B = \left\{ \frac{1}{2k}, k \in \mathbb{N} \right\} }\)
Jeśli chodzi o a) to wydaje mi się:
\(\displaystyle{ m (n- \frac{1}{10};n+ \frac{1}{10} ) = \frac{1}{5} }\)
I teraz korzystając z addytywności:
\(\displaystyle{ m(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5} = \infty}\)
b)
Wydaje mi się, że zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem punktowym, więc wiedząc, że miara takiego zbioru jest równa \(\displaystyle{ 0}\) to \(\displaystyle{ m(B) = 0}\). Chodzi mi oczywiście o addytywność, bo gdy zsumuje się miarę zbiorów \(\displaystyle{ B_{i} }\), gdzie każda miara jest równa \(\displaystyle{ 0}\) to całość też będzie równa \(\displaystyle{ 0}\).
Obliczyć miarę Lebesgue'a
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10261
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2381 razy
Re: Obliczyć miarę Lebesgue'a
Póki co wszystko jest poprawne, ale nie jest jasne, czym są zbiory \(\displaystyle{ B_i}\) ani co to jest zbiór punktowy.
Re: Obliczyć miarę Lebesgue'a
Miałem myśl by zbiór \(\displaystyle{ B}\) zapisać jako:
\(\displaystyle{ B= \bigcup_{k=1}^{ \infty } B _{k} }\)
Wtedy zbiór \(\displaystyle{ B }\) składa się z podzbiorów \(\displaystyle{ B _{k} }\), które są jednoelementowe, czyli ich miara jest równa \(\displaystyle{ 0}\), tylko nie wiem czy to jest dobra droga.
\(\displaystyle{ B= \bigcup_{k=1}^{ \infty } B _{k} }\)
Wtedy zbiór \(\displaystyle{ B }\) składa się z podzbiorów \(\displaystyle{ B _{k} }\), które są jednoelementowe, czyli ich miara jest równa \(\displaystyle{ 0}\), tylko nie wiem czy to jest dobra droga.