Własności zbiorów zwartych

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
akil2001
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 9 gru 2021, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Własności zbiorów zwartych

Post autor: akil2001 »

1.czy jesli A,B zwarty to czy z tego wynika ze ich suma jest zbiorem zwartym.
2.Czy jesli A zwarty to czy pochodna zbioru jest takze zbiorem zwartym.
3.czy jesli A zwarty to czy jego brzeg też bedzie zwarty
odpowiedz uzasadnij.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: matmatmm »

Jakiś kontekst do tego zadania? Czy zbiory te są podzbiorami jakiejś ustalonej nadprzestrzeni? Czy twoja definicja zbioru zwartego wymaga, żeby topologia była Hausdorffa?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: Janusz Tracz »

Ustalmy dowolne pokrycie \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I\right\} }\) zbioru \(\displaystyle{ A \cup B}\). Rozważmy pokrycia \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) odpowiednio

\(\displaystyle{ \left\{ C_i \cap A: i\in I\right\} \quad \& \quad \left\{ C_i \cap B: i\in I\right\}}\)

ze zwartości z tych pokryć można wybrać podpokrycia skończone

\(\displaystyle{ \left\{ C_i \cap A: i\in I_{A}\right\} \quad \& \quad \left\{ C_i \cap B: i\in I_{B}\right\}}\)

tu zaznaczam, że zbiory indeksów są skończone \(\displaystyle{ \left| I_{A}\right|,\left| I_B\right|< \infty }\). Tak na oko \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I_A \text{ lub }i\in I_B\right\} }\) powinien być skończonym pokryciem \(\displaystyle{ A \cup B}\).

PS Uważam, że
  • nawet \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I\right\} }\) można potraktować jako pokrycie \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) i nie trzeba nic przekrawać. Wyciągamy z \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I\right\} }\) podpokrycie skończone zbioru \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) i sumujemy,
  • zadanie jest niezależne od topologii.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: matmatmm »

Janusz Tracz, przecież zwartość działa tylko dla pokryć otwartych. Te pokrycia
Janusz Tracz pisze: 13 sty 2022, o 22:55
\(\displaystyle{ \left\{ C_i \cap A: i\in I\right\} \quad \& \quad \left\{ C_i \cap B: i\in I\right\}}\)
otwarte być nie muszą.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: Janusz Tracz »

W \(\displaystyle{ A}\) i w \(\displaystyle{ B}\) są (relatywnie) otwarte. A to tam stosujemy zwartość i wyciagnięcie podpokryć skończonych.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: matmatmm »

Racja, zwracam honor.
akil2001
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 9 gru 2021, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: akil2001 »

matmatmm pisze: 13 sty 2022, o 22:44 Jakiś kontekst do tego zadania? Czy zbiory te są podzbiorami jakiejś ustalonej nadprzestrzeni? Czy twoja definicja zbioru zwartego wymaga, żeby topologia była Hausdorffa?
tak, wymaga żeby była Hausdorfa.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: Janusz Tracz »

Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zwarty w \(\displaystyle{ T_2}\) to
  • \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty zatem \(\displaystyle{ \text{bd}\,A=\text{cl}\,A \setminus \text{int}\, A =A \setminus \text{int}\, A \subset A}\),
  • zbiór \(\displaystyle{ \text{bd}\,A=\text{cl}\,A \cap \text{cl}\,A^{\mathrm{c}}}\) więc jest domknięty,
  • domknięte podzbiory przestrzeni zwartej są zwarte.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: a4karo »

Koledzy, dawajcie wskazówki, a nie gotowce.
ODPOWIEDZ