Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\) o bokach długości \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\) i kątach \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\) , \(\displaystyle{ \gamma}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{ b^{2} +c^{2}-a^{2}}{a^{2}+c^{2}-b^{2}} = \frac{\tg \beta }{\tg \alpha } }\)
Tutaj jest rysunek:
Kod: Zaznacz cały
https://matematykaszkolna.pl/forum/rys/112290.png
Na początek stwierdzam na mocy twierdzenia cosinusów, że
\(\displaystyle{ b^{2} +c^{2}-a^{2}= 2cb\cos \alpha}\) i
\(\displaystyle{ a^{2}+c^{2}-b^{2} = 2ac\cos \beta}\)
Wyjściowe wyrażenie z tezy przekształcam równoważnie korzystając z powyżych równości:
\(\displaystyle{ \frac{ b^{2} +c^{2}-a^{2}}{a^{2}+c^{2}-b^{2}} = \frac{\tg \beta }{\tg \alpha } }\)
\(\displaystyle{ \frac{ 2cb\cos \alpha}{2ac\cos \beta} = \frac{\tg \beta }{\tg \alpha } }\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a} \frac{\cos \alpha }{\cos \beta } = \frac{ \frac{\sin \beta}{\cos \beta } }{ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } } }\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a} \frac{\cos \alpha }{\cos \beta } = \frac{\sin \beta \cos \alpha }{\cos \beta \sin \alpha }}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha } }\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha } }\)
Powyższe wyrażenie, na mocy twierdzenia sinusów i założeń w postaciu rysunku, jest rożsamością. Dokonywałem przekształceń równoważnych, więc skoro ostatnie wyrażenie jest prawdziwe, to wyrażenie wyjściowe również jest prawdziwe. c. n. u.
Czy to ma ręce i nogi?