Dane są dwa ciągi: arytmetyczny i geometryczny. Każdy z nich składa się z trzech wyrazów dodatnich. Pierwsze i ostatnie wyrazy tych ciągów są równe. Suma wyrazów którego ciągu jest większa?
Rozwiązuję to zadanie w ten sposób:
Mamy ciągi:
\(\displaystyle{ (a_{1} , a_{2} , a_{3})}\) czyli z treści zadania \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{1}q, a_{1} q^{2})}\) - ciąg geometryczny
\(\displaystyle{ (b_{1}, b_{2} , b_{3}) }\) czyli z treści zadania \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{1} +r, a_{1} q^{2} )}\) - ciąg arytmetyczny
Wiemy, że \(\displaystyle{ q>0}\) i \(\displaystyle{ a_{1}>0}\), bo wszystkie wyrazy ciągów są dodatnie.
Aby porównać sumy wyrazów obu ciągów, muszę porównać tylko ich środkowe wyrazy.
Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego to
\(\displaystyle{ b_{2} = a_{1} +r = \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2} }\)
Badam znak różnicy
\(\displaystyle{ a_{2} - b_{2} = a_{1}q - \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2} = \frac{-a_{1}(q-1) ^{2} }{2} \le 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ a_{2} \le b_{2}}\), więc suma wyrazów ciągu arytmetycznego jest większa od sumy wyrazów ciagu geometrycznego, przy czym \(\displaystyle{ a_{2}=b_{2}}\), gdy \(\displaystyle{ q=1}\) i wówczas oba ciągi są stałe.
Natomiast chciałbym spytać, czy poprawnie rozwiązałbym zadanie, gdybym, mając środkowe wyrazy \(\displaystyle{ a_{1}q}\) i \(\displaystyle{ \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2}}\), postawił hipotezę, np. \(\displaystyle{ a_{1}q < \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2}}\) i udowodnił prawdziwość lub nieprawdziwość tej nierówności? Wówczas gdybym doszedł do prawdy, to znaczyłoby, że suma wyrazów pierwszego ciągu jest mniejsza. Potem ewentualnie zbadałbym równość środkowych wyrazów i sprawdził czy i kiedy te wyrazy są równe.
Czyli generalnie zastanawiam się, czy takie postawienie hipotezy w matematyce i udowodnienie prawdziwości lub nieprawdziwości danego wyrażenia jest poprawne.
zadanie: porównaj sumy wyrazów ciągu arytm. i ciągu. geo.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: zadanie: porównaj sumy wyrazów ciągu arytm. i ciągu. geo.
Przecież dokładnie tak zrobiłeś w pierwszym rozwiązaniu (pomijając postawienie hipotezy, co jest zabiegiem kosmetycznym), do którego, jak rozumiem, nie masz wątpliwości?VanHezz pisze: ↑10 lis 2021, o 12:04czy poprawnie rozwiązałbym zadanie, gdybym, mając środkowe wyrazy \(\displaystyle{ a_{1}q}\) i \(\displaystyle{ \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2}}\), postawił hipotezę, np. \(\displaystyle{ a_{1}q < \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2}}\) i udowodnił prawdziwość lub nieprawdziwość tej nierówności?
-
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzecz
- Podziękował: 34 razy
Re: zadanie: porównaj sumy wyrazów ciągu arytm. i ciągu. geo.
Niby tak, ale wydało mi się, że jest różnica, między sytuacją, gdy wychodzę od różnicy \(\displaystyle{ a_{2} - b_{2}}\) i dopiero potem po przekształceniach stwierdzam, czy jest ona mniejsza czy większa od zera, a sytuacją gdy od razu piszę, że \(\displaystyle{ a_{2} - b_{2}<0}\), jak zrobiłem w drugim rozwiązaniu, a dopiero potem to udowadniam.
Czyli rozumiem, że gdybym postawił hipotezę \(\displaystyle{ a_{2} - b_{2}>0}\) i dowiódł, że ta nierówność jest nieprawdziwa, i stwierdził tym samym, że nierówność przeciwna musi być prawdziwa, to byłoby to poprawnie rozwiązane zadanie? Może i to kosmetyczne rzeczy, ale wolę się upewnić.
Czyli rozumiem, że gdybym postawił hipotezę \(\displaystyle{ a_{2} - b_{2}>0}\) i dowiódł, że ta nierówność jest nieprawdziwa, i stwierdził tym samym, że nierówność przeciwna musi być prawdziwa, to byłoby to poprawnie rozwiązane zadanie? Może i to kosmetyczne rzeczy, ale wolę się upewnić.
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: zadanie: porównaj sumy wyrazów ciągu arytm. i ciągu. geo.
Nie do końca. Zauważ, że zarówno `a_2` jak i `b_2` są funkcjami zmiennych `a_1`i `q`. Może się okazać, że dla pewnych wartości zmiennych zajdzie jedna nierówność że a dla innych przeciwna.
-
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzecz
- Podziękował: 34 razy
Re: zadanie: porównaj sumy wyrazów ciągu arytm. i ciągu. geo.
Tak, ale gdybym wykazał, że przykładowa nierówność jest prawdziwa lub nieprawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych, czyli w tym przypadku dla dowolnego \(\displaystyle{ a_{1}>0}\) i dowolnego \(\displaystyle{ q>0}\)?
Bo stawiając hipotezę
\(\displaystyle{ a_{2}-b_{2}>0}\)
dochodzę do nierówności
\(\displaystyle{ a_{1} (q-1)^{2} <0}\), która jest nieprawidziwa dla dowolnego \(\displaystyle{ a_{1}}\) z dziedziny i dowolnego \(\displaystyle{ q}\) z dziedziny (oprócz \(\displaystyle{ q=1}\), dla którego ciągi są stałe, ale ten przypadek rozważyłbym osobno).
Więc skoro dla wszystkich wartości \(\displaystyle{ a_{1}}\) i \(\displaystyle{ q}\) ta nierówność jest nieprawidzwa, to nierówność przeciwna musiałaby być prawdziwa dla tych samych wartości \(\displaystyle{ a_{1} }\) i \(\displaystyle{ q}\), czy tak?
Bo stawiając hipotezę
\(\displaystyle{ a_{2}-b_{2}>0}\)
dochodzę do nierówności
\(\displaystyle{ a_{1} (q-1)^{2} <0}\), która jest nieprawidziwa dla dowolnego \(\displaystyle{ a_{1}}\) z dziedziny i dowolnego \(\displaystyle{ q}\) z dziedziny (oprócz \(\displaystyle{ q=1}\), dla którego ciągi są stałe, ale ten przypadek rozważyłbym osobno).
Więc skoro dla wszystkich wartości \(\displaystyle{ a_{1}}\) i \(\displaystyle{ q}\) ta nierówność jest nieprawidzwa, to nierówność przeciwna musiałaby być prawdziwa dla tych samych wartości \(\displaystyle{ a_{1} }\) i \(\displaystyle{ q}\), czy tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: zadanie: porównaj sumy wyrazów ciągu arytm. i ciągu. geo.
W tym przypadku tak jest. Udowodniłeś to wprost. Jak masz dowód wprost, to przerobienie go na dowód nie wprost jest banalne.
Problem w tym, że aby obalić błędną tezę, wystarczy podać kontrprzykład. A to nie jest dowodem twierdzenia przeciwnego.
Problem w tym, że aby obalić błędną tezę, wystarczy podać kontrprzykład. A to nie jest dowodem twierdzenia przeciwnego.