Punkt w trójkącie

[mol_ksiazkowy]

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) jest \(\displaystyle{ AB=CD}\) (wysokość). Zbudowane są kwadraty \(\displaystyle{ DBEF}\) i \(\displaystyle{ ADGH}\) przy czym \(\displaystyle{ F, G}\) są na \(\displaystyle{ CD}\). Udowodnić, że proste \(\displaystyle{ CD, \ AE, \ BH}\) mają punkt wspólny

[kerajs]

Założenia:

\(\displaystyle{ AB=CD}\) (wysokość). (...) przy czym \(\displaystyle{ F, G}\) są na \(\displaystyle{ CD}\).

wymuszają położenie punktu D na odcinku AB (przypadek skrajny, punkt D jest końcem odcinka AB, degeneruje jeden z kwadratów do punktu).
Niech odcinek AE przecina CD w punkcie P, a odcinek BH przecina CD w punkcie Q,
1. Z tw. Talesa :
\(\displaystyle{ \frac{\left| PD\right| }{\left|AD \right| } = \frac{\left| BE\right| }{\left|AB \right| } }\)
więc:
\(\displaystyle{ \left| PD\right| = \frac{\left|AD \right| \left| BD\right| }{\left|AB \right| } }\)
2. Z tw. Talesa :
\(\displaystyle{ \frac{\left| QD\right| }{\left|BD \right| } = \frac{\left| AH\right| }{\left|AB \right| } }\)
więc:
\(\displaystyle{ \left| QD\right| = \frac{\left|AD \right| \left| BD\right| }{\left|AB \right| } }\)
3. z 1. i 2. wynika iż P=Q