mam pytanie czy mając równanie wielomianowe z parametrem ( ogólnie to wiem jak bezbłędnie rozwiązać i nie mam z tym problemu lecz znalazłem taką problematykę ), jeśli mamy polecenie do zadania, typu dla jakich wartości parametru równanie ma 3 rozwiązania ( i nie jest napisane że różne, lecz autor zadań czyli Oficyna OE Pazdro, w rzeczywistości ( w domyśle ) zakłada że są różne co mówią odpowiedzi z tyłu książki ), tak więc warunki dla np takiego równania gdzie powiedzmy wielomian można zapisać w np takiej postaci ( wymyśliłem to równanie ) \(\displaystyle{ x^3+(m-1)x^2+(2m^2-3m+4)x }\), co jest równe \(\displaystyle{ x(x^2+(m-1)x+2m^2-3m+4)}\), stąd więc mamy zawsze jedno rozwiązanie równe \(\displaystyle{ x = 0 }\) dla \(\displaystyle{ m \in \RR }\) lecz najpierw zakładając tak jak autor zadania miał na myśli że rozwiązania mają być różne to
1. przypadek ( gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) jest tym równaniem kwadratowym )
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0)≠0 }\),
czyli równanie początkowe ma jedno rozwiązanie oraz w rozkładzie na czynniki równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania i żadne z nich nie jest równe \(\displaystyle{ 0}\) zatem łącznie równanie (1) ma 3 różne rozwiązania
I to by było na tyle gdyby równanie miało mieć 3 "różne" rozwiązania, aczkolwiek jeśli się przyczepić że nie muszę być równe bo nie dopisał tego autor zadania ( w zbiorach Pazdro jest tak zarówno dla zadań kwadratowych jak i wielomianowych z parametrem ), to równanie kwadratowe może mieć jeszcze jedno rozwiązanie dwukrotne równe 0, bądź różne od 0, albo dwa różne rozwiązania z czego jedno jest równe \(\displaystyle{ 0}\) - zatem tak samo jak dla równań kwadratowych z parametrem, jeśli nie ma słowa różne to delta może być \(\displaystyle{ ∆=0}\) lub \(\displaystyle{ ∆> 0}\).
Tak więc dochodzą kolejne trzy przypadki
2. Przypadek
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) ≠ 0 }\), tutaj równanie będzie miało pierwiastek \(\displaystyle{ 0}\) jednokrotny oraz jakiś pierwiastek dwukrotny
3. Gdy równanie \(\displaystyle{ f(x)}\) ma pierwiastek dwukrotny to łącznie całe równanie ma jeden pierwiastek ale trzykrotny, tak więc trzy rozwiązania(?)
Zatem
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0}\), równanie będzie miało pierwiastek 0 trzykrotny
I przypadek 4.
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0 }\)
Czy może się mylę?
Pytam gdyż mój nauczyciel twierdzi że równanie zawsze ma różne rozwiązania w takich zadaniach.
*#* Ps: natomiast jeśli mielibyśmy rozważyć kiedy takie równanie ma dwa rozwiązania no to wtedy są tylko dwa przypadki, ze względu gdy są różne rozwiązania
Tzn 1.
Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie dwukrotne z czego jest ono różne od 0
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) ≠ 0 }\)
Oraz 2 przypadek
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0 }\), oraz jeszcze przypadek gdy nie muszą być one różne,
czyli jedno rozwiązanie się pokrywa, stąd wynika że odnośnie równań wielomianowych z parametrem które mają mieć 3 rozwiązania niekoniecznie różne, to przypadek 2,3 i 4 nie zachodzi? Gdyż wtedy patrząc na zadanie drugie *#*( z dwoma rozwiązaniami ) mamy jakby w 2 przypadku dwa rozwiązania różne, w 3. pierwiastek 3 kr. zatem jedno rozwiązanie a miały być trzy oraz w 4. dwa rozwiązania z czego jedno dwukrotne a drugie jednokrotne?
Jeśli się nigdzie nie pomyliłem.
Dodano po 48 minutach 2 sekundach:
Przepraszam że nie zamieniłem symbolu funkcji na LaTeX Panie Janie Kraszewski.
Cytując jeszcze odnośnie tego "czyli jedno rozwiązanie się pokrywa, stąd wynika że odnośnie (...) rozwiązania z czego jedno dwukrotne a drugie jednokrotne?"
To chyba że tutaj powinno się to tak rozumieć że jeśli równanie ma np w tym trzecim przypadku: 3. Jeden pierwiastek trzykrotny, zatem ma faktycznie te 3 wymagane rozwiązania lecz po prostu nie są różne i jest to poprawne czy jednak jest to po prostu jedno rozwiązanie, tak samo jak byśmy mieli mieć 3 rozwiązania i z warunku wynikałoby że jest pierwiastek 0 oraz z równania kwadratowego 0 i na przykład 2, to są to trzy rozwiązania, lecz dwa różne?
Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 7 razy
Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2021, o 17:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem
W przypadku równań skłaniałbym się ku interpretacji treści w ten sposób, że przykładowy napis "równanie ma 3 rozwiązania" zawsze w domyśle oznacza, że te rozwiązania są różne (podobnie jak w książkach, z których korzystasz). Jedynie w przypadku, gdy mówimy o pierwiastkach wielomianu, czyli na przykład dla napisu "wielomian ma dwa pierwiastki rzeczywiste" powiedziałbym, że można to rozumieć dwojako.
Podobnie \(\displaystyle{ f(x)}\) nie jest równaniem, tylko \(\displaystyle{ f(x)=0}\).
Poza tym analiza jest poprawna
Znowuż gdyby polecenie brzmiało "Kiedy wielomian ma dwa pierwiastki rzeczywiste" I dopuszczalibyśmy pierwiastki wielokrotne, to
Jeśli \(\displaystyle{ \Delta \geq 0}\), to wielomian ma trzy pierwiastki rzeczywiste.
Jeśli \(\displaystyle{ \Delta<0}\), to wielomian ma jeden pierwiastek rzeczywisty.
Tutaj skłaniałbym się do interpretacji "wielomian ma dwa pierwiastki" jako "co najmniej dwa", a nie "dokładnie dwa".
Napis \(\displaystyle{ x^3+(m-1)x^2+(2m^2-3m+4)x }\) nie jest równaniem. Równaniem jest \(\displaystyle{ x^3+(m-1)x^2+(2m^2-3m+4)x =0}\)PR713 pisze: ↑22 wrz 2021, o 17:15 \(\displaystyle{ x^3+(m-1)x^2+(2m^2-3m+4)x }\), co jest równe \(\displaystyle{ x(x^2+(m-1)x+2m^2-3m+4)}\), stąd więc mamy zawsze jedno rozwiązanie równe \(\displaystyle{ x = 0 }\) dla \(\displaystyle{ m \in \RR }\) lecz najpierw zakładając tak jak autor zadania miał na myśli że rozwiązania mają być różne to
1. przypadek ( gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) jest tym równaniem kwadratowym )
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0)≠0 }\),
czyli równanie początkowe ma jedno rozwiązanie oraz w rozkładzie na czynniki równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania i żadne z nich nie jest równe \(\displaystyle{ 0}\) zatem łącznie równanie (1) ma 3 różne rozwiązania
I to by było na tyle gdyby równanie miało mieć 3 "różne" rozwiązania
Podobnie \(\displaystyle{ f(x)}\) nie jest równaniem, tylko \(\displaystyle{ f(x)=0}\).
Poza tym analiza jest poprawna
Stanę po stronie nauczyciela zgodnie z moją uwagą na samym początku. Tym niemniej, gdyby polecenie brzmiało "Kiedy wielomian na trzy pierwiastki rzeczywiste?" i dopuszczalibyśmy pierwiastki wielokrotne, to Twoja analiza jest poprawna, chociaż można ją tak naprawdę skrócić do warunku \(\displaystyle{ \Delta \geq 0}\), aczkolwiek jeśli się przyczepić że nie muszę być równe bo nie dopisał tego autor zadania ( w zbiorach Pazdro jest tak zarówno dla zadań kwadratowych jak i wielomianowych z parametrem ), to równanie kwadratowe może mieć jeszcze jedno rozwiązanie dwukrotne równe 0, bądź różne od 0, albo dwa różne rozwiązania z czego jedno jest równe \(\displaystyle{ 0}\) - zatem tak samo jak dla równań kwadratowych z parametrem, jeśli nie ma słowa różne to delta może być \(\displaystyle{ ∆=0}\) lub \(\displaystyle{ ∆> 0}\).
Tak więc dochodzą kolejne trzy przypadki
2. Przypadek
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) ≠ 0 }\), tutaj równanie będzie miało pierwiastek \(\displaystyle{ 0}\) jednokrotny oraz jakiś pierwiastek dwukrotny
3. Gdy równanie \(\displaystyle{ f(x)}\) ma pierwiastek dwukrotny to łącznie całe równanie ma jeden pierwiastek ale trzykrotny, tak więc trzy rozwiązania(?)
Zatem
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0}\), równanie będzie miało pierwiastek 0 trzykrotny
I przypadek 4.
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0 }\)
Czy może się mylę?
Pytam gdyż mój nauczyciel twierdzi że równanie zawsze ma różne rozwiązania w takich zadaniach.
*#* Ps: natomiast jeśli mielibyśmy rozważyć kiedy takie równanie ma dwa rozwiązania no to wtedy są tylko dwa przypadki, ze względu gdy są różne rozwiązania
Tzn 1.
Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie dwukrotne z czego jest ono różne od 0
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) ≠ 0 }\)
Oraz 2 przypadek
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0 }\), oraz jeszcze przypadek gdy nie muszą być one różne,
czyli jedno rozwiązanie się pokrywa, stąd wynika że odnośnie równań wielomianowych z parametrem które mają mieć 3 rozwiązania niekoniecznie różne, to przypadek 2,3 i 4 nie zachodzi? Gdyż wtedy patrząc na zadanie drugie *#*( z dwoma rozwiązaniami ) mamy jakby w 2 przypadku dwa rozwiązania różne, w 3. pierwiastek 3 kr. zatem jedno rozwiązanie a miały być trzy oraz w 4. dwa rozwiązania z czego jedno dwukrotne a drugie jednokrotne?
Znowuż gdyby polecenie brzmiało "Kiedy wielomian ma dwa pierwiastki rzeczywiste" I dopuszczalibyśmy pierwiastki wielokrotne, to
Jeśli \(\displaystyle{ \Delta \geq 0}\), to wielomian ma trzy pierwiastki rzeczywiste.
Jeśli \(\displaystyle{ \Delta<0}\), to wielomian ma jeden pierwiastek rzeczywisty.
Tutaj skłaniałbym się do interpretacji "wielomian ma dwa pierwiastki" jako "co najmniej dwa", a nie "dokładnie dwa".
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 7 razy
Re: Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem
**Oczywiście pisząc te wyrażenia chodziło mi że jest to \(\displaystyle{ = 0}\), tzn chodziło mi o równanie a nie o wzór funkcji, tak więc w końcu teoretycznie powinniśmy dopuszczać krotność pierwiastków, że np jeśli ma trzy rozwiązania to może mieć 3 różne rozwiązania, albo np jedno jednokrotne a drugie dwukrotne? Tak jak w warunkach w 1 poście, bo w końcu nie rozumiem jak to jest, gdyż na forum na PW egzaminator OKE napisał mi że w takich zadaniach jak on ocenia to bierze pod uwagę różne i tak jak ja myślę jest to niepoprawne, więc już nie wiem jak to jest.
Bo przecież dla równań kwadratowych na 100% jest to poprawne, że jeśli ma mieć dwa rozwiązania a nie ma słowa różne to może być jeden pierwiastek dwukrotny lub dwa różne pierwiastki jednokrotne i to potwierdza nawet jeden Pan dr Tomasz G na YouTube w swoim filmie który ma przecież doktorat i mówi że powinno się na to uwagę zwracać, zatem \(\displaystyle{ ∆ ≥ 0}\)
Bo przecież dla równań kwadratowych na 100% jest to poprawne, że jeśli ma mieć dwa rozwiązania a nie ma słowa różne to może być jeden pierwiastek dwukrotny lub dwa różne pierwiastki jednokrotne i to potwierdza nawet jeden Pan dr Tomasz G na YouTube w swoim filmie który ma przecież doktorat i mówi że powinno się na to uwagę zwracać, zatem \(\displaystyle{ ∆ ≥ 0}\)
Ostatnio zmieniony 30 wrz 2021, o 19:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
-
- Administrator
- Posty: 34370
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5208 razy
Re: Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem
A cóż to jest "dwukrotne rozwiązanie równania"? Dwukrotny pierwiastek wielomianu ma sens, dwukrotne rozwiązanie równania - nie bardzo.
Na wszelki wypadek zaznaczę, że maturę sprawdza się tak, jak klucz każe sprawdzać...
No i co z tego? Pan Tomasz nie jest wyrocznią.PR713 pisze: ↑30 wrz 2021, o 18:50Bo przecież dla równań kwadratowych na 100% jest to poprawne, że jeśli ma mieć dwa rozwiązania a nie ma słowa różne to może być jeden pierwiastek dwukrotny lub dwa różne pierwiastki jednokrotne i to potwierdza nawet jeden Pan dr Tomasz G na YouTube w swoim filmie który ma przecież doktorat i mówi że powinno się na to uwagę zwracać, zatem \(\displaystyle{ ∆ ≥ 0}\)
Ale tak naprawdę to nie jest kwestia matematyczna, tylko językowa.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem
Na poparcie tych słów dodam, że równania są równoważne, gdy mają te same zbiory rozwiązań (patrz Formalna równoważność równań).Jan Kraszewski pisze: ↑30 wrz 2021, o 20:05A cóż to jest "dwukrotne rozwiązanie równania"? Dwukrotny pierwiastek wielomianu ma sens, dwukrotne rozwiązanie równania - nie bardzo.
Gdyby chcieć powiedzieć np. o równaniu \(\displaystyle{ (x-1)^2=0}\), że ma dwukrotne rozwiązanie \(\displaystyle{ 1}\), to o równaniu mu równoważnym \(\displaystyle{ (x-1)^3=0}\) musielibyśmy powiedzieć, że ma trzykrotne rozwiązanie \(\displaystyle{ 1}\). Nie wspominając o tym, że istnieje cała masa równań równoważnych temu równaniu, które w ogóle nie są wielomianowe np. \(\displaystyle{ 2^x=2}\).
Częściowo się zgodzę, aczkolwiek mówienie o "dwukrotnym rozwiązaniu równania" zakrawa chyba o błąd - jest to tworzenie pojęcia, które nie ma jakiejś sensownej definicji. Stąd zapewne wynikają tak jednoznaczne zasady oceniania w tej kwestii.Jan Kraszewski pisze: ↑30 wrz 2021, o 20:05 Ale tak naprawdę to nie jest kwestia matematyczna, tylko językowa.
-
- Administrator
- Posty: 34370
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5208 razy
Re: Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem
Zgadza się.
Tyle że mam wrażenie, że w praktyce szkolnej rozróżnienie rozwiązania równania wielomianowego (miejsca zerowych funkcji wielomianowej) i pierwiastka wielomianu nie jest dobrze ugruntowane i stąd potem te zbitki myślowe typu "dwukrotne rozwiązanie równania". Zresztą we wspomnianym filmie na YT (
Kod: Zaznacz cały
https://www.youtube.com/watch?v=tq0P7CjG7r8
JK