Niech \(\displaystyle{ (X_1, X_2, ..., X_n) }\) będą próbami Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu \(\displaystyle{ p \in (0, 1)}\) oraz \(\displaystyle{ S_n = X_1 + ... + X_n}\). Dla \(\displaystyle{ m \le k \le n }\) naturalnych. Sprawdź, że \(\displaystyle{ P(S_m = j | S_n = k) = \frac{ {m \choose j} {n - m \choose k - j}}{{n \choose k}}}\)
Ogółem, to dochodzę do momentu, gdzie mam \(\displaystyle{ \frac{P(X_1 + ... + X_m = j, X_{m+1} + ... + X_n = k - j)}{P(S_n = k)} }\) i tutaj mam pewien problem: mianowicie nie wiem, jak sprawdzić niezależność tych dwóch zdarzeń. Definicja jest pozornie prosta, to jest zdarzenia są niezależne, jeśli \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A)P(B) }\), ale nie bardzo wiem, jak zapisać prawdopodobieństwo takiego przekroju. Sam przekrój wydaje mi się, że rozumiem: to są takie ciągi zero-jedynkowe o długości \(\displaystyle{ n}\), że suma pierwszych \(\displaystyle{ m }\) wyrazów wynosi dokładnie \(\displaystyle{ j }\), zaś suma wyrazów od \(\displaystyle{ m + 1 }\) do \(\displaystyle{ n }\) ma wynosić \(\displaystyle{ k - j}\). Na chłopski rozum mógłbym powiedzieć, że na te pierwsze \(\displaystyle{ m }\) miejsc wybieramy dokładnie \(\displaystyle{ j }\) jedynek i summa summarum wyszłoby mi dokładnie tyle, ile ma wyjść, ale sęk w tym, że takie rozumowanie już samo w sobie korzysta z niezależności. Tak więc jeśli byłby ktoś na tyle miły, by pomóc mi to zrozumieć, to byłbym bardzo wdzięczny
PS: Zdaję sobie sprawę z tego, że jeszcze powinno być założenie co do \(\displaystyle{ j }\), ale najwidoczniej wykładowca to pominął przy układaniu zadania.
Ale wydaje mi się, że rozumiem w czym rzecz, pewnie w domyśle miało być założenie o niezależności prób.