nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?
-
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzecz
- Podziękował: 34 razy
nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?
Witam, mam problem z prostymi nierównościami z wartością bezwzględną. Mianowicie nie wiem, dlaczego raz rozwiązanie tworzy suma zbiorów, a raz część wspólna zbiorów.
Weźmy dwa przykłady ze zbioru zadań:
1) \(\displaystyle{ \left| \left| x+2\right|-5 \right|>1}\)
Rozbijam jak zwykle na alternatywę:
\(\displaystyle{ \left| x+2\right| -5>1 \vee \left| x+2\right|-5<-1 }\)
\(\displaystyle{ \left| x+2\right|>6 \vee \left| x+2\right| <4}\)
Rozwiązaniem nierówności po lewej jest zbiór \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty, -8\right) \cup \left( 4, \infty \right) }\)
Rozwiązaniem nierówności po prawej jest zbiór \(\displaystyle{ x \in \left( -6, 2\right) }\)
Rozwiązaniem początkowej nierówności jest zatem suma (bo mamy alternatywę) zbiorów podanych wyżej, więc
\(\displaystyle{ x \in \left( - \infty, -8\right) \cup \left( -6, 2\right) \cup \left( 4, \infty \right)}\)
I taka też odpowiedź podana jest na końcu podręcznika.
2) Weźmy jednak inny przykład: \(\displaystyle{ \left| \left| x-2\right| -4\right| <2}\)
Rozbijam standardowo na alternatywę:
\(\displaystyle{ \left| x-2\right| -4<2 \vee \left| x-2\right|-4>-2}\)
\(\displaystyle{ \left| x-2\right|<6 \vee \left| x-2\right| >2}\)
Rozwiązaniem nierówności po lewej jest zbiór \(\displaystyle{ x \in \left( -4, 8\right) }\)
Rozwiązaniem nierówności po prawej jest zbiór \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty , 0\right) \cup \left( 4, \infty \right) }\)
A zatem, skoro mamy alternatywę, to rozwiązaniem powinna być suma zbiorów, tak jak w pierwszym przykładzie. Więc zgodnie z moim, wiem że błędnym, tokiem rozumowania,\(\displaystyle{ x \in R}\)
W odpowiedziach na końcu podręcznika podana jest odpowiedź ze zbiorem rozwiązań w postaci iloczynu powyższych zbiorów czyli \(\displaystyle{ x \in \left( -4, 0\right) \cup \left( 4, 8\right) }\)
Dlaczego zatem raz rozwiązaniem jest suma zbiorów rozwiązań rozpatrywanych dwóch nierówności, a raz ich iloczyn? Czy dlatego, że gdy po module mamy 'większe od', to stosujemy alternatywę, a gdy po module mamy 'mniejsze od', to stosujemy koniunkcję nierówności? Jeśli tak to dlaczego? Wynika to z natury modułu, która przedstawia odległości na osi liczbowej? Jakoś to chyba czuję, ale nie bardzo potrafię to matematycznie wyjaśnić.
Z góry dziękuję za odpowiedź.
Weźmy dwa przykłady ze zbioru zadań:
1) \(\displaystyle{ \left| \left| x+2\right|-5 \right|>1}\)
Rozbijam jak zwykle na alternatywę:
\(\displaystyle{ \left| x+2\right| -5>1 \vee \left| x+2\right|-5<-1 }\)
\(\displaystyle{ \left| x+2\right|>6 \vee \left| x+2\right| <4}\)
Rozwiązaniem nierówności po lewej jest zbiór \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty, -8\right) \cup \left( 4, \infty \right) }\)
Rozwiązaniem nierówności po prawej jest zbiór \(\displaystyle{ x \in \left( -6, 2\right) }\)
Rozwiązaniem początkowej nierówności jest zatem suma (bo mamy alternatywę) zbiorów podanych wyżej, więc
\(\displaystyle{ x \in \left( - \infty, -8\right) \cup \left( -6, 2\right) \cup \left( 4, \infty \right)}\)
I taka też odpowiedź podana jest na końcu podręcznika.
2) Weźmy jednak inny przykład: \(\displaystyle{ \left| \left| x-2\right| -4\right| <2}\)
Rozbijam standardowo na alternatywę:
\(\displaystyle{ \left| x-2\right| -4<2 \vee \left| x-2\right|-4>-2}\)
\(\displaystyle{ \left| x-2\right|<6 \vee \left| x-2\right| >2}\)
Rozwiązaniem nierówności po lewej jest zbiór \(\displaystyle{ x \in \left( -4, 8\right) }\)
Rozwiązaniem nierówności po prawej jest zbiór \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty , 0\right) \cup \left( 4, \infty \right) }\)
A zatem, skoro mamy alternatywę, to rozwiązaniem powinna być suma zbiorów, tak jak w pierwszym przykładzie. Więc zgodnie z moim, wiem że błędnym, tokiem rozumowania,\(\displaystyle{ x \in R}\)
W odpowiedziach na końcu podręcznika podana jest odpowiedź ze zbiorem rozwiązań w postaci iloczynu powyższych zbiorów czyli \(\displaystyle{ x \in \left( -4, 0\right) \cup \left( 4, 8\right) }\)
Dlaczego zatem raz rozwiązaniem jest suma zbiorów rozwiązań rozpatrywanych dwóch nierówności, a raz ich iloczyn? Czy dlatego, że gdy po module mamy 'większe od', to stosujemy alternatywę, a gdy po module mamy 'mniejsze od', to stosujemy koniunkcję nierówności? Jeśli tak to dlaczego? Wynika to z natury modułu, która przedstawia odległości na osi liczbowej? Jakoś to chyba czuję, ale nie bardzo potrafię to matematycznie wyjaśnić.
Z góry dziękuję za odpowiedź.
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?
I popełniasz błąd.
Co to znaczy "rozbijam standardowo na alternatywę"? Rozwiązanie takiej nierówności nie ma nic wspólnego z "rozbijaniem na alternatywę". Gdybyś rozumiał, na czym polega rozwiązywanie tych nierówności (a nie tylko uczył się regułek), to wiedziałbyś, że w tym wypadku mamy do czynienia z koniunkcją.
Tak.
Tak. Najwygodniej zastosować geometryczną interpretację wartości bezwzględnej. Co oznacza \(\displaystyle{ |x-a|<b}\)? Co oznacza \(\displaystyle{ |x-a|>b}\)?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?
Żeby Ci sie jednak nie wydawało, że świat jest taki prosty, rozwiąż nierówność `|x-2|>|2x+4|`
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?
I w związku z tym pozostaje tylko przypomnieć radę, by nie zatrzymywać się na regułkach... Choć to akurat nierówność trochę innego typu niż poprzednie.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzecz
- Podziękował: 34 razy
Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?
Nie bardzo wiem, o jakich regułkach mowa. Po prostu sobie dłubałem przy nierównościach, bo chciałem je sobie przypomnieć. Na alternatywę rozbijałem ze względu na moduł, a nie na znak nierówności. Tochę lat od liceum już minęło i zapomniałem, że znak nierówności też ma znaczenie przy wyborze alternatywny czy koniunkcji, i coś mi właśnie świtało o graficznej interpretacji wartości bezwzględnej, o czym napisałem na końcu posta.Co to znaczy "rozbijam standardowo na alternatywę"? Rozwiązanie takiej nierówności nie ma nic wspólnego z "rozbijaniem na alternatywę". Gdybyś rozumiał, na czym polega rozwiązywanie tych nierówności (a nie tylko uczył się regułek), to wiedziałbyś, że w tym wypadku mamy do czynienia z koniunkcją.
Teraz jednak przypomniałem sobie REGUŁKĘ, kiedy alternatywa a kiedy koniunkcja. Na szczęście wiem już mniej więcej z czego wynika.
Mam jeszcze jedno pytanie. Mianowicie znalazłem gdzieś w internecie wzór: \(\displaystyle{ \left| x-y\right| \ge \left| x\right| -\left| y\right| }\)
Czy aby na pewno ten wzór jest poprawny?
Posługując się nim, można pokazać, że wyrażenie \(\displaystyle{ \left| x+2\right| -\left| x\right|}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left( - \infty , 2\right\rangle}\) , a w rzeczywistości wyrażenie to przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -2, 2\right\rangle}\). Niby pierwszy wariant jest prawidłowy, ponieważ rzeczywiście wyrażenie to zawsze przyjmuje wartości mniejsze bądź równie \(\displaystyle{ 2}\), ale też wynika z tego wariantu, że może to wyrażenie przyjmować również wartość np. \(\displaystyle{ -10
}\).
Czy zatem ten wzór jest prawidłowy?
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?
Tak. Prawdziwy jest nawet wzór \(\displaystyle{ \left| x-y\right| \ge \left| \left| x\right| -\left| y\right|\right| }\).
Wszystko, co napisałeś, jest prawdą i nie ma w tym żadnej sprzeczności. Po prostu wzór, który przytoczyłeś, daje mniej dokładne oszacowanie.VanHezz pisze: ↑8 sie 2021, o 10:56Posługując się nim, można pokazać, że wyrażenie \(\displaystyle{ \left| x+2\right| -\left| x\right|}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left( - \infty , 2\right\rangle}\) , a w rzeczywistości wyrażenie to przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -2, 2\right\rangle}\). Niby pierwszy wariant jest prawidłowy, ponieważ rzeczywiście wyrażenie to zawsze przyjmuje wartości mniejsze bądź równie \(\displaystyle{ 2}\), ale też wynika z tego wariantu, że może to wyrażenie przyjmować również wartość np. \(\displaystyle{ -10
}\).
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?
Tak, ta nierówność zachodzi, może po prostu źle jej użyłeś lub z jej użycia wyciągnąłeś zupełnie nieuprawnione wnioski. To, że \(\displaystyle{ (\forall x\in D)f(x)\le a}\) zdecydowanie nie wystarcza, by orzec, że \(\displaystyle{ \mathrm{rng}f=(-\infty, a]}\).VanHezz pisze: ↑8 sie 2021, o 10:56
Mam jeszcze jedno pytanie. Mianowicie znalazłem gdzieś w internecie wzór: \(\displaystyle{ \left| x-y\right| \ge \left| x\right| -\left| y\right| }\)
Czy aby na pewno ten wzór jest poprawny?
Posługując się nim, można pokazać, że wyrażenie \(\displaystyle{ \left| x+2\right| -\left| x\right|}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left( - \infty , 2\right\rangle}\) , a w rzeczywistości wyrażenie to przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -2, 2\right\rangle}\). Niby pierwszy wariant jest prawidłowy, ponieważ rzeczywiście wyrażenie to zawsze przyjmuje wartości mniejsze bądź równie \(\displaystyle{ 2}\), ale też wynika z tego wariantu, że może to wyrażenie przyjmować również wartość np. \(\displaystyle{ -10
}\).
Czy zatem ten wzór jest prawidłowy?
Mamy \(\displaystyle{ |x+2|-|x|\le |x+2-x|=2}\) z równością np. dla \(\displaystyle{ x=0}\). Ponadto
\(\displaystyle{ |x+2|-|x|\ge |x|-|2|-|x|=-2}\) z równością np. dla \(\displaystyle{ x=-4}\). Odnotujmy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=|x+2|-|x|}\) jest ciągła jako różnica funkcji ciągłych. Z twierdzenia Darboux wynika przeto, że \(\displaystyle{ \mathrm{rng}f=[-2,2]}\).
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?
Nigdzie nie pojawiła się taka teza. Było tylko
czyli \(\displaystyle{ \mathrm{rng}f \subseteq (-\infty, 2]}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?
Formalnie, Janie, masz rację, ale zdziwienie VanHezz sugeruje, że rozumie on otrzymany wynik tak, jak to odebrał Premisław (i ja zresztą też). Gdyby było inaczej, to nie wskazałby `10` jako potencjalnej wartości funkcji.
Wyjaśniłeś to zresztą w swoim poprzednim poście.
Wyjaśniłeś to zresztą w swoim poprzednim poście.
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?
Bardzo możliwe, co jednak oznacza, że problem nie leży po stronie wartości bezwzględnej, tylko zrozumienia pojęcia zbioru wartości funkcji.
JK