Notacja zbiorów

[astroau]

Czy poniższe zapisy są równoważne:
\(\displaystyle{ \left\{ \mbox{x spełnia jakiś tam warunek} : x \in R \right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ x \in R : \mbox{x spełnia jakiś tam warunek} \right\}}\)

[Dasio11]

Nie, bo zapis po lewej stronie nie jest zgodny z żadną istniejącą konwencją matematyczną, więc nie ma sensu.

[astroau]

A te zapisy są równoważne?
\(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \wedge \mbox{warunek} \right\} }\) i \(\displaystyle{ \left\{ x \in R : \mbox{warunek}\right\} }\)
Dobrze rozumiem, że poniższy zapis jest poprawny?
\(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \right\} }\)
Podczas gdy poniższy jest niepoprawny:
\(\displaystyle{ \left\{ x \in R : x \right\} }\)

[Jan Kraszewski]

A te zapisy są równoważne?
\(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \wedge \mbox{warunek} \right\} }\) i \(\displaystyle{ \left\{ x \in R : \mbox{warunek}\right\} }\)

W podręcznikach szkolnych widziałem pierwszy zapis, ale studentom matematyki każę używać drugiego zapisu. Jeżeli uznamy, że możemy używać obu, to opisują ten sam zbiór.

Dobrze rozumiem, że poniższy zapis jest poprawny?
\(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \right\} }\)

No akurat tu miałbym wątpliwości, bo dla mnie ten zapis jest dość bezsensowny.

Ogólnie są dwie metody opisu zbioru - za pomocą funkcji zdaniowej ("warunku") i za pomocą operacji ("funkcji").
Opis zbioru za pomocą funkcji zdaniowej wygląda tak: \(\displaystyle{ \{x\in A: \varphi(x)\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) jest funkcją zdaniową o zmiennej wolnej \(\displaystyle{ x}\), czyli "warunkiem", który konkretny element \(\displaystyle{ x\in A}\) może spełniać (lub nie). Tak opisany zbiór to zbiór tych elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\), które spełniają dany warunek.
Opis zbioru za pomocą operacji wygląda tak: \(\displaystyle{ \{\psi(x):x\in A\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \psi}\) jest operacją (potocznie - funkcją, formalnie - termem), a tak opisany zbiór to zbiór wszystkich wartości operacji \(\displaystyle{ \psi}\) dla argumentów ze zbioru \(\displaystyle{ A}\). Przykład zbioru opisanego w ten sposób: \(\displaystyle{ \{2n:n\in\NN\}.}\)

Opis \(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \right\} }\) jest bezsensowny (pomijając już fakt, że nie pasuje do powyższego schematu), bo mówi on, że jest to "zbiór tych \(\displaystyle{ x}\), które należą do zbioru \(\displaystyle{ R}\)". A taki zbiór opisujemy po prostu jako \(\displaystyle{ R}\).

Podczas gdy poniższy jest niepoprawny:
\(\displaystyle{ \left\{ x \in R : x \right\} }\)

Zdecydowanie niepoprawny.

JK

[astroau]

Dobrze rozumiem, że poniższy zapis jest poprawny?
\(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \right\} }\)

No akurat tu miałbym wątpliwości, bo dla mnie ten zapis jest dość bezsensowny.

Bezsensowny ale czy zgodny z przyjętą notacją?

Ale to poniższe chyba ma sens?
\(\displaystyle{ \left\{ 2x : x \in R \right\} }\)

Można użyć i operacji, i warunku. Wtedy będziemy mieli takie coś:
\(\displaystyle{ \left\{ \psi(x) : x \in R \wedge \varphi(x) \right\} }\)
gdzie \(\displaystyle{ \psi}\) to operacja, a \(\displaystyle{ \varphi}\) to warunek.

[a4karo]

A `3.7` jest parzysta?

[Jan Kraszewski]

Bezsensowny ale czy zgodny z przyjętą notacją?

edit
Jak mi słusznie zwrócił uwagę Dasio11 trochę się zagalopowałem. Jeżeli potraktujemy zapis \(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \right\} }\) jako zapis za pomocą operacji, to ma on sens (choć wyłącznie formalny, praktycznego już nie).

Ale to poniższe chyba ma sens?
\(\displaystyle{ \left\{ 2x : x \in R \right\} }\)

Jeżeli \(\displaystyle{ R}\) to \(\displaystyle{ \RR}\), to sens ma, choć tylko formalny, a nie praktyczny, bo \(\displaystyle{ \left\{ 2x : x \in \RR \right\}=\RR }\).

Można użyć i operacji, i warunku. Wtedy będziemy mieli takie coś:
\(\displaystyle{ \left\{ \psi(x) : x \in R \wedge \varphi(x) \right\} }\)
gdzie \(\displaystyle{ \psi}\) to operacja, a \(\displaystyle{ \varphi}\) to warunek.

Formalnie - nie. Musiałbyś tego użyć tak:

\(\displaystyle{ \left\{ \psi(x) : x \in \{t\in\RR: \varphi(t)\} \right\}. }\)

Choć oczywiście w codziennej praktyce nie wszystkie używane zapisy są w pełni formalne, podobnie jak nie zawsze mówimy literacką polszczyzną.

JK

[astroau]

Czy mógłbyś podać mi linka gdzie to byłoby dla mnie jaśniej wyjaśnione? Po polsku oczywiście bo z angola jestem słaby.

[Jan Kraszewski]

Możesz pożyczyć w bibliotece mój podręcznik "Wstęp do matematyki", tam jest to wyjaśnione.

JK

[astroau]

Dzięki, chętnie kupię tę książkę. Jeszcze pytanko, polecisz książkę w której byłaby opisana matematyka ale od strony językowej, nie teoretycznej, np. symbole i w jakim kontekście się ich używa?

[Jan Kraszewski]

Matematyk raczej nie potrzebuje takiej książki, więc nie sądzę, żeby taka książka istniała. Ale oczywiście mogę się mylić.

JK