Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych
Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych
Witam,
Chciałbym się dowiedzieć w jaki sposób można wyliczyć dokładne wartości funkcji trygonometrycznych takich jak cosinus 36 stopni. Nie chodzi mi o wartości przybliżone z tablic
Chciałbym się dowiedzieć w jaki sposób można wyliczyć dokładne wartości funkcji trygonometrycznych takich jak cosinus 36 stopni. Nie chodzi mi o wartości przybliżone z tablic
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8596
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3357 razy
Re: Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \sin 5x=\sin^5x-10\cos^2x \sin^3 x+5\cos^4 x\sin x }\)
\(\displaystyle{ \sin 5 \cdot 36^o=\sin^5 36^o-10\cos^2 36^o \sin^3 36^o+5\cos^4 36^o\sin 36^o}\)
\(\displaystyle{ 0=\sin 36^o( \sin^4 36^o-10\cos^2 36^o \sin^2 36^o+5\cos^4 36^o}\)
\(\displaystyle{ 0=\sin^4 36^o-10(1-\sin^2 36^o) \sin^2 36^o+5(1-\sin^2 36^o)^2}\)
albo
\(\displaystyle{ 0=(1-\cos^2 36^o)^2-10\cos^2 36^o(1-\cos^2 36^o)+5\cos^4 36^o}\)
Oba równania to równania dwukwadratowe.
\(\displaystyle{ \sin 5 \cdot 36^o=\sin^5 36^o-10\cos^2 36^o \sin^3 36^o+5\cos^4 36^o\sin 36^o}\)
\(\displaystyle{ 0=\sin 36^o( \sin^4 36^o-10\cos^2 36^o \sin^2 36^o+5\cos^4 36^o}\)
\(\displaystyle{ 0=\sin^4 36^o-10(1-\sin^2 36^o) \sin^2 36^o+5(1-\sin^2 36^o)^2}\)
albo
\(\displaystyle{ 0=(1-\cos^2 36^o)^2-10\cos^2 36^o(1-\cos^2 36^o)+5\cos^4 36^o}\)
Oba równania to równania dwukwadratowe.
Ostatnio zmieniony 21 lip 2021, o 20:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Re: Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych
Bardzo dziękuję za odpowiedzi, nie miałem jeszcze styczności z tego typu równaniami kwadratowymi, ale udało mi się je rozwiązać i wszystko rozumiem
Re: Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych
Możesz użyć wzoru na cosinus kąta suma (lub różnica) dla kąta \(\displaystyle{ 36}\) stopni, korzystając z wartości znanych kątów trygonometrycznych, takich jak \(\displaystyle{ 30}\) stopni i \(\displaystyle{ 6}\) stopni. Matematycznie to może wyglądać tak: \(\displaystyle{ \cos(36^\circ) = \cos(30^\circ + 6^\circ).}\)
Ostatnio zmieniony 1 lut 2024, o 20:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Administrator
- Posty: 34539
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych
Czyli \(\displaystyle{ \cos 6^\circ}\) uważasz za znany? A ile to jest?
Czasem lepiej nic nie pisać...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 23498
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Re: Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych
Mając sinusa osiemnastu stopni (mam nadzieję, że jest ok) z poniższego
funkcje-trygonometryczne-i-cyklometrycz ... 96383.html
funkcje-trygonometryczne-i-cyklometrycz ... 80546.html
Wolfram obliczył (ze wzoru na sinus potrojonego argumentu) sinusa sześciu stopni : \(\displaystyle{ \frac{1}{8}\left(-1-\sqrt 5+\sqrt {30-6\sqrt 5}\right)}\) (nie wygląda to na przybliżenie).
No to do cosinusa już blisko - chyba, że coś źle wpisałem.
funkcje-trygonometryczne-i-cyklometrycz ... 96383.html
funkcje-trygonometryczne-i-cyklometrycz ... 80546.html
Wolfram obliczył (ze wzoru na sinus potrojonego argumentu) sinusa sześciu stopni : \(\displaystyle{ \frac{1}{8}\left(-1-\sqrt 5+\sqrt {30-6\sqrt 5}\right)}\) (nie wygląda to na przybliżenie).
No to do cosinusa już blisko - chyba, że coś źle wpisałem.
-
- Administrator
- Posty: 34539
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych
Mają sinusa \(\displaystyle{ 18^\circ}\) jest prostszy sposób na wyznaczenie \(\displaystyle{ \cos 36^\circ}\) niż liczenie sinusa \(\displaystyle{ 6^\circ.}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 23498
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Re: Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych
Tak np taki jak podałem pod linkiem w tym wątku. A o sześciu stopniach pisałem pod Twoim postem, w którym coś o tym wspomniałeś.
-
- Administrator
- Posty: 34539
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych
No OK.
Chodziło mi raczej o to, że wszytko zaczęło się od wpisu pewnego archeologa, co do którego podejrzewałem, że jego celem było opublikowanie czegokolwiek (i prezentacja linku w wizytówce), a nie opublikowanie czegoś sensownego...
JK