Chciałbym zapytać, czy spotkał się ktoś z takim wzorem na obliczanie części urojonej zer funkcji zeta Riemanna?
Przy rozważaniu funkcji eta Dirichleta, która jak wiadomo jest silnie powiązana z funkcją zeta, wyszedł mi wzór na część urojoną zer taki jak poniżej:
\(\displaystyle{ N}\)-te zero funkcji to:
\[\pi \cdot\sum_{n=1}^{\propto }\frac{n\cdot (2k_{1}\pm 1)-(2k_{2}\pm 1)}{\ln (n+1)}\]
Przy czym \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\) są dowolnymi liczbami całkowitymi.
Dokładność jest bardzo dobra i dość zadziwiająca jak na taki "prosty" wzór.
Kolejne "zera" są kolejną wartością sumy przy ustalonych \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\). (nie wiem jak dołączyć tabelę ale można sobie to sprawdzić np. w exelu).
Dziwne jest to iż ( przy ustalonym \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\)) wzór ten nie wylicza kolejnych (\(\displaystyle{ 1,2,3...}\)) zer tylko skacze trochę "chaotycznie". Aby otrzymać zera "pomiędzy" trzeba zmienić liczbę \(\displaystyle{ k_1}\) lub \(\displaystyle{ k_2}\) o \(\displaystyle{ \pm 1}\). Dokładność wzoru rośnie wraz ze wzrostem \(\displaystyle{ n}\).
Czy jest to może jakaś aproksymacja "dokładnego" wzoru? Przy wyprowadzaniu go nie używałem przybliżeń tylko wartości dokładne. (gdyby ktoś chciał mogę przesłać wyliczenia)
Pozdrawiam
Urojone części zer funkcji zeta Riemanna
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 17 paź 2019, o 21:26
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 43
Urojone części zer funkcji zeta Riemanna
Ostatnio zmieniony 19 lip 2021, o 19:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Symbol mnożenia to \cdot.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 17 paź 2019, o 21:26
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 43
Re: Urojone części zer funkcji zeta Riemanna
To oczywista pomyłka... chodziło mi o symbol nieskończoności \(\displaystyle{ \infty }\)
"muszę zmienić okulary"
Dodano po 19 minutach :
1) Nigdzie nie napisałem że ten szereg jest zbieżny... bo nie musi...Zależy od \(\displaystyle{ n}\) bo są to kolejne sumy częściowe. Być może nie wyraziłem się zbyt jasno: Chodzi o to iż kolejne "sumy częściowe" tego wyrażenia coraz lepiej przybliżają wartości urojone zer funkcji zeta ( dla danego i ustalonego \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\)). Wartości zer nie są zbieżne...
2) Przykład dla \(\displaystyle{ k_1=0}\) i \(\displaystyle{ k_2=0}\) już trzeci wyraz tej sumy to ok. \(\displaystyle{ 13,25}\) dość daleko od pierwszego zera ale jest to dopiero 3 wyraz...
poniżej wklejam przykładowe tabelki z obliczeniami kilkunastu pierwszych zer i prównanie ich z zerami rzeczywistymi wyliczonymi na podstawie strony:
Kod: Zaznacz cały
https://www.lmfdb.org/zeros/zeta/?N=1&t=&limit=100
Dodam tylko iż kolejne "\(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\)" nie wyliczają zer kolejno, co widać w tabelkach
Ostatnio zmieniony 19 lip 2021, o 19:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 17 paź 2019, o 21:26
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 43
Re: Urojone części zer funkcji zeta Riemanna
Linki do tabel z poprzedniego posta... tamte coś się nie chciały wkleić:
Dodano po 31 sekundach:
i drugi link
Dodano po 2 dniach 8 godzinach 16 minutach 50 sekundach:
Rozumiem iż nikt nie spotkał się z takim wzorem... no trudno... wygląda na to ( tak na szybko z analizy numerycznej) iż jest prawdziwy i odległość miedzy zerami jest rzędu "n/ln(n)" co jest przybliżeniem funkcji pi(n)..
Pytanie w takim bądź razie inne...czy wobec tego jest to rozwiązanie trywialne, czy coś wnosi do rozkładu zer?
Kod: Zaznacz cały
https://ibb.co/mSTdNCr
Dodano po 31 sekundach:
i drugi link
Kod: Zaznacz cały
https://ibb.co/NpMsJc0
Dodano po 2 dniach 8 godzinach 16 minutach 50 sekundach:
Rozumiem iż nikt nie spotkał się z takim wzorem... no trudno... wygląda na to ( tak na szybko z analizy numerycznej) iż jest prawdziwy i odległość miedzy zerami jest rzędu "n/ln(n)" co jest przybliżeniem funkcji pi(n)..
Pytanie w takim bądź razie inne...czy wobec tego jest to rozwiązanie trywialne, czy coś wnosi do rozkładu zer?