Trójkąty i czworokąt
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Trójkąty i czworokąt
Z dowolnych wierzchołów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) trójkąta narysowano przecinające się proste, które podzieliły go na trzy trójkąty o polach \(\displaystyle{ 2, 5, 7}\) i jeden czworokąt. Jakie jest jego pole ?
-
- Użytkownik
- Posty: 2283
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Trójkąty i czworokąt
Lemat. Niech w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) punkty \(\displaystyle{ A_1, B_1}\) leżą na bokach \(\displaystyle{ BC, AC}\) odpowiednio, a punkt \(\displaystyle{ P}\) jest punktem przecięcia \(\displaystyle{ AA_1, BB_1}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \frac{AP}{PA_1}=\frac{\frac{CA_1}{A_1B}+1}{\frac{CB_1}{B_1A}}}\).
Oznaczając znane pola trójkątów przez \(\displaystyle{ a,b,c}\), a nieznane pole czworokąta przez \(\displaystyle{ x}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{b}{c}=\frac{\frac{a+x}{b+c}+1}{\frac{c+x}{a+b}}}\)
Mój wynik to \(\displaystyle{ x=\frac{ac(2b+a+c)}{b^2-ac}}\)
i teraz mamy chyba dwa rozwiązania, bo może być \(\displaystyle{ a=2,b=5,c=7}\) albo \(\displaystyle{ a=2,b=7,c=5}\).
\(\displaystyle{ \frac{AP}{PA_1}=\frac{\frac{CA_1}{A_1B}+1}{\frac{CB_1}{B_1A}}}\).
Oznaczając znane pola trójkątów przez \(\displaystyle{ a,b,c}\), a nieznane pole czworokąta przez \(\displaystyle{ x}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{b}{c}=\frac{\frac{a+x}{b+c}+1}{\frac{c+x}{a+b}}}\)
Mój wynik to \(\displaystyle{ x=\frac{ac(2b+a+c)}{b^2-ac}}\)
i teraz mamy chyba dwa rozwiązania, bo może być \(\displaystyle{ a=2,b=5,c=7}\) albo \(\displaystyle{ a=2,b=7,c=5}\).