suma szeregu z potęgą

[rObO87]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} }\)

Na pewno szereg jest zbieżny, bo dąży do 0. Pytanie tylko jak wyznaczyć sumę. Ani to ciąg geometryczny, ani arytmetyczny.

[Jan Kraszewski]

Na pewno szereg jest zbieżny, bo dąży do 0.

CO dąży do zera?

JK

[rObO87]

Mianownik szybciej narasta, niż licznik. Więc cały ułamek będzie coraz mniejszy.

[Dasio11]

Abstrahując od tego, że to niepoprawny argument za zbieżnością szeregu, jego sumę można wyznaczyć metodą zaburzania sum.

[Jan Kraszewski]

Mianownik szybciej narasta, niż licznik. Więc cały ułamek będzie coraz mniejszy.

W szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }\) też mianownik narasta szybciej niż licznik, a zbieżny nie jest... Mylisz warunek konieczny zbieżności szerego z warunkiem dostatecznym.

JK

[rObO87]

Abstrahując od tego, że to niepoprawny argument za zbieżnością szeregu,

No to popatrzmy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} +\frac{2}{25} + \frac{3}{125} + ... = 0.2 + 0.08 + 0.024 + ...}\)
Widać, że kolejne wyrazy są coraz mniejsze?

jego sumę można wyznaczyć metodą zaburzania sum.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{5^{n+1}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n+1}}+\frac{1}{5^{n+1}}}\)

Dodano po 42 sekundach:

Mianownik szybciej narasta, niż licznik. Więc cały ułamek będzie coraz mniejszy.

W szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }\) też mianownik narasta szybciej niż licznik, a zbieżny nie jest... Mylisz warunek konieczny zbieżności szerego z warunkiem dostatecznym.

JK

Racja. Czuję to.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{5^{n+1}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n+1}}+\frac{1}{5^{n+1}}}\)

Tak, o to chodzi.

[rObO87]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n+1}}+\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{5^{n+1}}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}}+ \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)

\(\displaystyle{ 5 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = 1 + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}}+ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)

\(\displaystyle{ 4 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = 1 + \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)

Mamy ciąg geometryczny z prawej:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)

\(\displaystyle{ q = \frac{1}{5} }\)

\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{1}{5} }\)

\(\displaystyle{ S_{n} = \frac{a_{1}}{1-q} = \frac{ \frac{1}{5} }{1- \frac{1}{5} }= \frac{1}{4} }\)

Wracamy...

\(\displaystyle{ 4 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{16} }\)

A tyle wynosi poprawna odpowiedź