Rozbicie
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Rozbicie
Zbiór liczb całkowitych nieujemnych został rozdzielony na \(\displaystyle{ n}\) ciągów arytmetycznych nieskończonych o różnicach \(\displaystyle{ r_1,..., r_n}\) i pierwszych wyrazach \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{a_1}{r_1}+...+ \frac{a_n}{r_n}= \frac{n-1}{2} }\).
Ostatnio zmieniony 12 maja 2021, o 16:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Rozbicie
Wszystkie różnice są stale równe dowolnie ustalonemu \(\displaystyle{ n.}\)
Ponieważ są dodatnie, to pierwsze wyrazy ciągów, czyli \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_n}\) zawierają się w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, \ldots, n-1 \right\}}\) (inaczej byśmy pominęli jedną z liczb tego zbioru).
A dalej korzystasz ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n-1,}\) mnożysz obustronnie przez \(\displaystyle{ n}\) i masz tezę.
Ponieważ są dodatnie, to pierwsze wyrazy ciągów, czyli \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_n}\) zawierają się w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, \ldots, n-1 \right\}}\) (inaczej byśmy pominęli jedną z liczb tego zbioru).
A dalej korzystasz ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n-1,}\) mnożysz obustronnie przez \(\displaystyle{ n}\) i masz tezę.
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Rozbicie
Dlaczego? Wiem, że to ja powinienem wykazać, ale jak masz jakiś kontrprzykład lub jakieś proste uzasadnienie, to poczekam, a jeżeli po prostu Cię nie przekonuje, to spróbuję to uzasadnić.
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Rozbicie
Zależy od ciągu, jeżeli ma się zaczynać od zera, przechodzić przez wszystkie liczby całkowite nieujemne, to naprawdę długo (wczoraj) myślałem nad innym sposobem i nie mogłem wpaść (chyba, że w rozbiciu wyrazy mogą się powtarzać).
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy