Tangens i ułamek

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6661
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2592 razy
Pomógł: 684 razy

Tangens i ułamek

Post autor: mol_ksiazkowy » 6 maja 2021, o 21:48

Udowodnić elementarnie, że \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{16}\right) < \frac{1}{5} }\).
Ostatnio zmieniony 6 maja 2021, o 21:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23278
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3201 razy

Re: Tangens i ułamek

Post autor: piasek101 » 6 maja 2021, o 22:33

Uznać argument tangensa jakby był połówką kąta i zamienić go na odpowiedni iloraz ze wzoru na tangensa połowy kąta w zależności od sinusa i cosinusa całego kąta. Wartości tych ostatnich są znane (albo można je wyznaczyć) - pozostają przekształcenia wyrażeń z pierwiastkami.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9557
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2129 razy

Re: Tangens i ułamek

Post autor: Dasio11 » 6 maja 2021, o 22:50

Niech \(\displaystyle{ \tg \: \alpha = \frac{1}{5}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\). Z monotoniczności tangensa mamy

\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{16} \right) < \frac{1}{5} \iff \frac{\pi}{16} < \alpha \iff \frac{\pi}{8} < 2\alpha \iff \tg \left( \frac{\pi}{8} \right) < \tg(2 \alpha)}\),

a ze wzoru na tangens dwukrotności kąta

\(\displaystyle{ \tg(2 \alpha) = \frac{2 \tg \: \alpha}{1-\tg^2 \: \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - \left( \frac{1}{5} \right)^2} = \frac{5}{12}}\).

Powtarzając to rozumowanie dostajemy, że początkowa nierówność jest równoważna \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{4} \right) < \frac{120}{119}}\), a stąd wniosek, że jest prawdziwa.

ODPOWIEDZ