granica (pierwiastki w ułamku)

sunnus · Post autor: **sunnus** » 29 paź 2009, o 23:53

witam,
czy dobre jest moje rozumowanie?

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n^2 + 5} - n}{\sqrt{n^2 + 3} - n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2 + 5 - n^2}{\sqrt{n^2 + 5} + n} * \frac{1}{\sqrt{n^2 + 3} - n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{5}{n}}{\sqrt{1 + \frac{5}{n^2}} + 1} * \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{3}{n^2}} - 1}}\)
i właśnie tu jest moje następne pytanie, z pierwszego czynnika wyjdzie granica 0 ale z drugiego bedzie \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) więc lipa. podpowie mi ktoś w tym zadaniu?
pozdrawiam

natos · Post autor: **natos** » 29 paź 2009, o 23:57

Proponuje pomnożyć przez wyraz sprzężony mianownik.

sunnus · Post autor: **sunnus** » 29 paź 2009, o 23:59

natos pisze:Proponuje pomnożyć przez wyraz sprzężony mianownik.

przepraszam ale nie rozumiem co to.. można jaśniej?

natos · Post autor: **natos** » 30 paź 2009, o 00:06

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 5} - n)(\sqrt{n^2 + 3} + n)}{(\sqrt{n^2 + 3} - n)(\sqrt{n^2 + 3} + n)}}\) Rozpisywac dalej ?

sunnus · Post autor: **sunnus** » 30 paź 2009, o 00:12

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n^4 + 8*n^2 + 15} - n^2}{3}}\)
takie coś wychodzi po przemnożeniu. i teraz przecież gdy chce podzielić przez np \(\displaystyle{ n^2}\) to mianownik dąży do zera, a tak przecież nie może być. Gdyby można było to proszę o rozpisanie.

natos · Post autor: **natos** » 30 paź 2009, o 00:27

masz racje....

sunnus · Post autor: **sunnus** » 30 paź 2009, o 00:50

to podpowie może ktoś jak to zrobić? tak krok po kroku..

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 30 paź 2009, o 00:54

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n^2 + 5} - n}{\sqrt{n^2 + 3} - n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2 + 5} - n}{\sqrt{n^2 + 3} - n} \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 5} + n}{\sqrt{n^2 + 5} + n} \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 3} + n}{\sqrt{n^2 + 3} + n}}\)

I to samo co robiłeś w pierwszym poście TYLKO 2 RAZY.

sunnus · Post autor: **sunnus** » 30 paź 2009, o 01:05

bardzo bym Cię prosił o rozpisanie krok po kroku, bo pogubiłem się już w tym wszystkim :/

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 30 paź 2009, o 01:08

Nie ma mowy. Sprobuj jutro rano to sobie na spokojnie napisać. Ja Ci mogę jedynie to sprawdzić.

sunnus · Post autor: **sunnus** » 30 paź 2009, o 01:43

więc tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n^2 + 5} - n}{\sqrt{n^2 + 3} - n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2 + 5} - n}{\sqrt{n^2 + 3} - n} \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 5} + n}{\sqrt{n^2 + 5} + n} \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 3} + n}{\sqrt{n^2 + 3} + n} = \lim_{n\to\infty} \frac{5*(\sqrt{n^2 + 3} - n)}{3*(\sqrt{n^2 + 5} + n)} = \lim_{n\to\infty}\frac{5}{3} * \frac{3}{\sqrt{n^2 + 3} + n} * \frac{\sqrt{n^2 + 5} -n}{5} = \lim_{n\to\infty} \frac{5}{3} * 3 * \frac{\sqrt{n^2 + 3} - n}{3} * \frac{1}{5} * \frac{5}{\sqrt{n^2 + 5} + n} = \lim_{n\to\infty} \frac{5}{3} * \frac{\sqrt{n^2 + 3} - n}{\sqrt{n^2 + 5} + n}}\)

zrobiłem tak jak pisałeś, dwa razy wykonałem krok z mojego pierwszego posta po tym co napisałeś.. ech

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 30 paź 2009, o 10:09

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{5}{3} * \frac{\sqrt{n^2 + 3} + n}{\sqrt{n^2 + 5} + n}}\)
Tyle Ci powinno wyjść. Szukaj błędu

sunnus · Post autor: **sunnus** » 31 paź 2009, o 11:47

miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n^2 + 5} - n}{\sqrt{n^2 + 3} - n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2 + 5} - n}{\sqrt{n^2 + 3} - n} \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 5} + n}{\sqrt{n^2 + 5} + n} \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 3} + n}{\sqrt{n^2 + 3} + n}}\)

teraz dochodze do wniosku że wystarczyło właśnie zrobić tylko to co tu zrobiłeś i już wychodziło to co napisałeś że powinno wyjść, zgadza się?
dzięki za pomoc miodzio

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 31 paź 2009, o 13:13

Zgadza się. Nie ma za co