Sprawdzić zbieżność ciągu a_n zadanego rekurencyjnie.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a_{n+1}& =2- {3\over 4a_n} \text{ dla } n\ge 1 \\
a_1& =\sqrt{7}
\end{cases};}\)
Zbadałam, że to jest ciąg malejący, ale nie wiem jak pokazać/zbadać, czy jest ograniczony z dołu.
Bardzo prosze o pomoc)
Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 40 razy
Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.
Ostatnio zmieniony 20 lut 2021, o 11:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj wzorów w tytule tematu. Zły dział.
Powód: Nie używaj wzorów w tytule tematu. Zły dział.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Udowodnij indukcyjnie, że \(\displaystyle{ a_n \ge \frac{3}{2} }\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2- \frac{3}{4x}-x }\) dla \(\displaystyle{ x \ge \frac{3}{2} }\) jest niedodatnia. Więc ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest malejący.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Powołaj się na twierdzenie o zbieżności monotonicznego ciągu ograniczonego. Można nawet policzyć granicę przy okazji pokazując, że szacowanie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) jest optymalne. W sensie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) to granica.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2- \frac{3}{4x}-x }\) dla \(\displaystyle{ x \ge \frac{3}{2} }\) jest niedodatnia. Więc ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest malejący.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Powołaj się na twierdzenie o zbieżności monotonicznego ciągu ograniczonego. Można nawet policzyć granicę przy okazji pokazując, że szacowanie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) jest optymalne. W sensie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) to granica.
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 40 razy
Re: Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.
Nie rozumiem, skąd się wzieła liczba \(\displaystyle{ \frac32}\), czyli jak zrozumieć że ten wyraz \(\displaystyle{ \ge\frac32}\) patrząc na niego ? /jak to udowodnić już wiem/Janusz Tracz pisze: ↑20 lut 2021, o 12:15 \(\displaystyle{ \bullet}\) Udowodnij indukcyjnie, że \(\displaystyle{ a_n \ge \frac{3}{2} }\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2- \frac{3}{4x}-x }\) dla \(\displaystyle{ x \ge \frac{3}{2} }\) jest niedodatnia. Więc ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest malejący.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Powołaj się na twierdzenie o zbieżności monotonicznego ciągu ograniczonego. Można nawet policzyć granicę przy okazji pokazując, że szacowanie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) jest optymalne. W sensie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) to granica.
Ostatnio zmieniony 20 lut 2021, o 12:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.
Oszacowanie \(\displaystyle{ 3/2}\) zgadłem wypisując kilka pierwszych wyrazów i badając ewentualnych kandydatów na granicę.
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 40 razy
Re: Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.
ok,dzięki)Janusz Tracz pisze: ↑20 lut 2021, o 13:58 Oszacowanie \(\displaystyle{ 3/2}\) zgadłem wypisując kilka pierwszych wyrazów i badając ewentualnych kandydatów na granicę.
Dodano po 39 minutach 55 sekundach:
Czy może być takie udowodnienie?Janusz Tracz pisze: ↑20 lut 2021, o 13:58 Oszacowanie \(\displaystyle{ 3/2}\) zgadłem wypisując kilka pierwszych wyrazów i badając ewentualnych kandydatów na granicę.
\(\displaystyle{ a_1 = \sqrt{7}>\sqrt{4} = 2>= \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_n\geq \frac{3}{2} \rightarrow a_{n+1} \geq \frac{3}{2}?}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} = 2-\frac{3}{4a_n}}\)
\(\displaystyle{ 4a_n \geq \frac{12}{2}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{3}{4}a_n>\frac{9}{8} }\)
\(\displaystyle{ 2-\frac{3}{4}a_n<\frac{7}{8}<\frac{8}{8}<2 }\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}}\) na pewno\(\displaystyle{ < 2 }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22242
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3760 razy
Re: Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.
Co ci daje ograniczeni z góry? MAsz szacować z dołu
A poza tym masz szacować \(\displaystyle{ \frac{3}{4a_n}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{3}{4}a_n}\)
A poza tym masz szacować \(\displaystyle{ \frac{3}{4a_n}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{3}{4}a_n}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.
\(\displaystyle{ \left( 1\right) }\) To jest ściana znaczków bez słowa komentarza.kt26420 pisze: ↑20 lut 2021, o 14:40 Czy może być takie udowodnienie?
\(\displaystyle{ a_1 = \sqrt{7}>\sqrt{4} = 2>= \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_n\geq \frac{3}{2} \rightarrow a_{n+1} \geq \frac{3}{2}?}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} = 2-\frac{3}{4a_n}}\)
\(\displaystyle{ 4a_n \geq \frac{12}{2}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{3}{4}a_n>\frac{9}{8} }\)
\(\displaystyle{ 2-\frac{3}{4}a_n<\frac{7}{8}<\frac{8}{8}<2 }\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}}\) na pewno\(\displaystyle{ < 2 }\)
\(\displaystyle{ (2)}\) Dowód powinien być po pierwsze przekonywający dla Ciebie. Zadaj sama sobie pytanie czy to co napisałaś Cię przekonuje. I to jest uwaga odnośnie jakichkolwiek dowodów. Potem dopiero postaraj się przekonać innych.
\(\displaystyle{ (3)}\) Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) nie jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 2}\) co chyba sugerujesz. Ograniczenie górne to \(\displaystyle{ \sqrt{7} }\). Tak czy inaczej ograniczenie z góry jest mało istotne w tym momencie.
\(\displaystyle{ (4)}\) Jeśli to ma być dowód przy użyciu indukcji to wypada to napisać (najlepiej na końcu powołać się na ZIM).