Mam problem z takim zadankiem i poproszę o wskazówki thx
Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ log_{m}(4-x^{2})\geqslant log_{m}(6x-3)}\) z niewiadomą x, wiedząc , że liczba \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) należy do zbioru rozwiązań tej nierówności.
nierówność logarytmiczna
-
Andreas
- Użytkownik
- Posty: 1130
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 22:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 156 razy
nierówność logarytmiczna
Na początku musisz wyznaczyć dziedzinę.
\(\displaystyle{ 4-x^2>0 \\
x^2<4 \\
x \in (-2,2)}\)
\(\displaystyle{ 6x-3>0 \\
6x>3 \\
x> \frac{1}{2} \\
x \in \left(\frac{1}{2}, \infty \right)}\)
Rozwiązanie tej nierówności napewno będzie należało do częśći wspólnej obu zbiorów
\(\displaystyle{ x \in (-2,2) \cap \left(\frac{1}{2}, \infty \right) \\
x \in \left(\frac{1}{2}, 2\right)}\)
robisz założenie
zał: \(\displaystyle{ m>1}\)
(dla podstawy logarytmu większej od 1 można opuścić logarytmy nie zmieniając zwrotu nierówności)
\(\displaystyle{ 4-x^2 \ge 6x-3 \\
... \\}\)
zakładam że to umiesz rozwiązać
\(\displaystyle{ ... \\
x \in \left(\frac{1}{2}, 1 \right)}\)
czyli założenie było błędne bo \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) nie należy do zbioru rozwiązań tej nierówności.
zał: \(\displaystyle{ m \in (0,1)}\)
(podstawa logarytmu jest mniejsza od 1 więc przy opuszczaniu logarytmów należy zmienić zwrot nierówności)
\(\displaystyle{ 4-x^2 \le 6x-3 \\
... \\
... \\}\)
\(\displaystyle{ x \in <1, 2)}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) należy do tego przedziału czyli założenie było słuszne
Odp. \(\displaystyle{ x \in <1, 2)}\)
\(\displaystyle{ 4-x^2>0 \\
x^2<4 \\
x \in (-2,2)}\)
\(\displaystyle{ 6x-3>0 \\
6x>3 \\
x> \frac{1}{2} \\
x \in \left(\frac{1}{2}, \infty \right)}\)
Rozwiązanie tej nierówności napewno będzie należało do częśći wspólnej obu zbiorów
\(\displaystyle{ x \in (-2,2) \cap \left(\frac{1}{2}, \infty \right) \\
x \in \left(\frac{1}{2}, 2\right)}\)
robisz założenie
zał: \(\displaystyle{ m>1}\)
(dla podstawy logarytmu większej od 1 można opuścić logarytmy nie zmieniając zwrotu nierówności)
\(\displaystyle{ 4-x^2 \ge 6x-3 \\
... \\}\)
zakładam że to umiesz rozwiązać
\(\displaystyle{ ... \\
x \in \left(\frac{1}{2}, 1 \right)}\)
czyli założenie było błędne bo \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) nie należy do zbioru rozwiązań tej nierówności.
zał: \(\displaystyle{ m \in (0,1)}\)
(podstawa logarytmu jest mniejsza od 1 więc przy opuszczaniu logarytmów należy zmienić zwrot nierówności)
\(\displaystyle{ 4-x^2 \le 6x-3 \\
... \\
... \\}\)
\(\displaystyle{ x \in <1, 2)}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) należy do tego przedziału czyli założenie było słuszne
Odp. \(\displaystyle{ x \in <1, 2)}\)