Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ x\geq0 }\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{
\ln(1+ex)\geq \sin{x}.
}\)
Proszę o pomoc!
Udowodnić, że dla x ≥ 0 zachodzi nierównoś
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Udowodnić, że dla x ≥ 0 zachodzi nierównoś
Dla \(\displaystyle{ x> \frac{e-1}{e}}\) nierówność jest oczywista, gdyż logarytm naturalny jest funkcją rosnącą, a sinus jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 1}\), zatem gdy \(\displaystyle{ x>\frac{e-1}{e}}\), to \(\displaystyle{ \ln(1+ex)>1\ge \sin x}\).
Wystarczy więc ograniczyć się w dalszych rozważaniach do \(\displaystyle{ x\in\left(0, \frac{e-1}{e}\right]}\).
Korzystam ze znanych i lubianych nierówności \(\displaystyle{ \ln(1+t)\ge \frac{t}{1+t}, \ t\ge \sin t \ (t\ge 0)}\), których dowody też mogę przytoczyć w razie potrzeby. Mamy we wspomnianym przedziale
\(\displaystyle{ \ln(1+ex)\ge \frac{ex}{1+ex}\ge \frac{ex}{1+e\cdot \frac{e-1}{e}}=x\ge \sin x}\)
co kończy dowód.
Wystarczy więc ograniczyć się w dalszych rozważaniach do \(\displaystyle{ x\in\left(0, \frac{e-1}{e}\right]}\).
Korzystam ze znanych i lubianych nierówności \(\displaystyle{ \ln(1+t)\ge \frac{t}{1+t}, \ t\ge \sin t \ (t\ge 0)}\), których dowody też mogę przytoczyć w razie potrzeby. Mamy we wspomnianym przedziale
\(\displaystyle{ \ln(1+ex)\ge \frac{ex}{1+ex}\ge \frac{ex}{1+e\cdot \frac{e-1}{e}}=x\ge \sin x}\)
co kończy dowód.
-
- Użytkownik
- Posty: 22174
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Udowodnić, że dla x ≥ 0 zachodzi nierównoś
Końcówkę bez nierówności się robi:
`\ln(1+ex)>x` dla `0<x<1`, bo dla `x=0` zachodzi równość, a dla `x=1` lewa strona jest większa od prawej, zaś funkcja z lewej jest wklęsła.
`\ln(1+ex)>x` dla `0<x<1`, bo dla `x=0` zachodzi równość, a dla `x=1` lewa strona jest większa od prawej, zaś funkcja z lewej jest wklęsła.