Wyznaczanie wzoru na sumę szeregu

[bartekw2213]

Witam, na podstawie poniższego przykładu - czy mój sposób wyznaczania wzoru na sumę szeregu jest poprawny? Czy popełniam w którymś miejscu błąd teoretyczny?


Weźmy sobie na warsztat szereg o takiej postaci:
\(\displaystyle{ \quad \sum_{n=2}^{ \infty }(n+1)3^nx^n}\)


To co robię to przyrównuję sobie podany szereg do \(f(x)\), które symbolizuje szukany wzór na sumę szeregu. Lewą stronę równania próbuję sobie sprowadzić do postaci szeregu geometrycznego \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }x^n}\)


\(\displaystyle{
\begin{align*}
\sum_{n=2}^{ \infty }(n+1)3^nx^n &= f(x) \quad / \int \mbox{...} dx \\
\sum_{n=2}^{ \infty }\frac{(n+1)}{(n+1)}3^nx^{n+1} &= \int f(x)dx \\
\sum_{n=2}^{ \infty }(3x)^nx &= \int f(x)dx \\
(3x)^2x + (3x)^3x + (3x)^4x + \mbox{...} &= \int f(x)dx \leftarrow \mbox{po lewej stronie zauważam szereg geometryczny gdzie } \quad a_1 = (3x)^2x \quad \wedge \quad q = 3x \\
\frac{(3x)^2x}{1 - 3x} &= \int f(x)dx \leftarrow \mbox{ użyłem wzoru na sumę szeregu geometrycznego } S = \frac{a_1}{1 - q} \\
f(x) &= \left( \frac{(3x)^2x}{1 - 3x}\right) ' = \frac{27x^2(1-4x)}{(1-3x)^2}
\end{align*}
}\)


Czy w którymś miejscu popełniłem błąd?

[Janusz Tracz]

Ogólnie jest nieźle. Ale można się przyczepić do pewnych przejść. Najpoważniejsze przewinienie to scałkowanie stronami całką nieoznaczoną i brak stałej. W sensie teoretycznie wszystko się zgadza ale dlaczego? Przecież jak całkujesz to powinna gdzieś się pojawiać stała całkowania. Dlaczego się nie pojawiła? Z tego można się wytłumaczyć na kilka sposobów. Poza tym jest ok modulo fakty odnośnie całkowania/różniczkowania szeregów potęgowych.

[bartekw2213]

Najpoważniejsze przewinienie to scałkowanie stronami całką nieoznaczoną i brak stałej. W sensie teoretycznie wszystko się zgadza ale dlaczego?

W jaki inny "ładniejszy" sposób mógłbym to zapisać?

Przecież jak całkujesz to powinna gdzieś się pojawiać stała całkowania. Dlaczego się nie pojawiła? Z tego można się wytłumaczyć na kilka sposobów.

Jak na egzaminie mógłbym wytłumaczyć brak stałej całkowania?

Poza tym jest ok modulo fakty odnośnie całkowania/różniczkowania szeregów potęgowych.

Czyli otrzymany przeze mnie wynik jest wynikiem poprawnym?

[Janusz Tracz]

W jaki inny "ładniejszy" sposób mógłbym to zapisać?

Nie ładniejszy tylko poprawny. Możesz równość

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }(n+1)3^n\xi^n = f(\xi)}\)

scałkować stronami w przedziale od zera do \(\displaystyle{ x}\)* czyli mamy

\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \sum_{n=2}^{ \infty }(n+1)3^n\xi^n \dd \xi= \int_{0}^{x} f(\xi) \dd \xi}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }(n+1)3^n\int_{0}^{x}\xi^n \dd \xi= \int_{0}^{x} f(\xi) \dd \xi}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }3^nx^{n+1}= \int_{0}^{x} f(\xi) \dd \xi}\)

\(\displaystyle{ x\sum_{n=2}^{ \infty }(3x)^{n}= \int_{0}^{x} f(\xi) \dd \xi}\)

teraz różniczkujesz stronami i dostajesz:

\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd x } \left( x \underbrace{ \sum_{n=2}^{ \infty }(3x)^{n}}_{\text{to umiesz policzyć}}\right) =f(x)}\)

Ostatecznie sprowadza się to do tego samego ale nie ma problemu ze stałą całkowania bo mamy całki oznaczone.

Jak na egzaminie mógłbym wytłumaczyć brak stałej całkowania?

Tak jak zrobiłem to powyżej. Wtedy nawet nie ma mowy o stałej całkowania. Przy czym ja bym nie wprowadzał w ogóle funkcji \(\displaystyle{ f}\) tylko pisał bym po kolei

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }(n+1)3^nx^n= \sum_{n=2}^{ \infty }3^n \frac{ \dd }{ \dd x }\left( x^{n+1}\right) = \frac{ \dd }{ \dd x }\left(\sum_{n=2}^{ \infty }3^n x^{n+1}\right) = \frac{ \dd }{ \dd x }\left( x\sum_{n=2}^{ \infty }(3x)^{n}\right) }\)

nie ma \(\displaystyle{ f}\), nie ma całki, nie ma stałych całkowania, nie ma problemów.

Czyli otrzymany przeze mnie wynik jest wynikiem poprawnym?

Nie sprawdzałem obliczeń ale wygląda dobrze. Ideowo jest ok.

*formalnie trzeba jeszcze założyć, że \(\displaystyle{ x \ge 0}\) ale gdy \(\displaystyle{ x \le 0}\) to wszystko robi się dokładnie tak samo i sytuacja jest symetryczna