Cześć,
siedze już trochę nad tym zadaniem i nie mogę znaleźć błędu, dlatego też proszę o podpowiedź.
Zadanie:
Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których równanie\(\displaystyle{ (m+1)x ^{2}+(m+1)x+1 = 0 }\) ma dwa różne pierwiastki\(\displaystyle{ x _{1} ,x _{2} }\), spełniające warunek \(\displaystyle{ (x _{1} +x _{2}) ^{3}-(x _{1} ^{3}+x _{2} ^{3} )<(x _{1} +x _{2} )^{2}-(x _{1} ^{2}+x _{2} ^{2}) }\)
Moje rozwiązanie: \(\displaystyle{ \Delta=(m+1)(m-3) \Rightarrow m \in (- \infty ,-1) \cup (3, \infty )}\)
Natomiast przekształcenia: \(\displaystyle{ (x _{1} ^{3}+x _{2} ^{3} )=(x _{1}+x _{2})((x _{1} +x _{2}) ^{2}-3x _{1}x _{2}) }\) \(\displaystyle{ x _{1} ^{2}+x _{2} ^{2} =(x _{1}+x _{2}) ^{2}-2 x_{1}x _{2} }\)
No i podstawiam ze wzorów Viete'a \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}=-1 }\) oraz \(\displaystyle{ x _{1}\cdot x _{2}= \frac{1}{m+1} }\) \(\displaystyle{ -1-(-1-3\cdot \frac{1}{m+1})< 1-1- \frac{2}{m+1}}\)
Skracam \(\displaystyle{ \frac{5}{m+1}<0 }\)
I wychodzi mi zakres \(\displaystyle{ m \in (- \infty ,-1)}\)
W odpowiedziach jest znak przeciwny w liczniku \(\displaystyle{ \frac{-5}{m+1}<0 }\) co daje \(\displaystyle{ m \in (-1, \infty )}\)
Co w ostateczności daje inny zakres ze względu na delte, więc mój wynik nie zgadza się z tym z odpowiedzi. Czy ja popełniłem jakiś błąd czy to może w odpowiedziach znalazł się błąd? Proszę o pomoc
Ostatnio zmieniony 23 sty 2021, o 10:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
a4karo pisze: ↑23 sty 2021, o 04:01
Popełniłeś błąd. Narysuj trochę więcej nawiasów przy wzorach Viete'a, to zobaczysz gdzie.
Niestety dwa kolejne razy rozpisałem sobie zadanie i mam wrażenie że zaczyna mi się coraz bardziej mieszać w głowie, mógłbyś powiedzieć która linijka jest błędna? Mówimy już o podstawianiu, tak? Bo wzory Viete'a wydają mi się dobrze obliczone.
