Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
szylvviaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 19 sty 2021, o 19:33
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: szylvviaa »

Cześć, mam do rozwiązanie granicę gdy n dąży do nieskończoności ciągu jak w tytule.

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{ 1+ \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2 ^{n} } }{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n-1} } }\)


Wiem, ze najpierw muszę policzyć sumę tego ciągu, jednak mimo wszystko nie mogę doliczyć się rozwiazania.


\(\displaystyle{ S = 2 \cdot (1- \frac{1}{n^2} ) }\)
Ostatnio zmieniony 19 sty 2021, o 19:58 przez szylvviaa, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: Janusz Tracz »

Nie musisz liczyć sumy z licznika bo \(\displaystyle{ a_n \ge \frac{1}{ \sqrt{n+2}-\sqrt{n-1} } \rightarrow \infty }\)
szylvviaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 19 sty 2021, o 19:33
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: szylvviaa »

A dlaczego jest ta jedynka w liczniku?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: Janusz Tracz »

Bo w liczniku \(\displaystyle{ a_n}\) jest jedynka i jeszcze trochę innych dodatnich rzeczy. Ja się pozbyłem tych innych dodatnich rzeczy i zmniejszyłem ułamek tym samym.
szylvviaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 19 sty 2021, o 19:33
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: szylvviaa »

A jak formalnie rozpisać to zadanie? Bo w dalszym ciągu nie jest to dla mnie zrozumiałe. Byłabym wdzięczna za wytłumaczenie.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: Janusz Tracz »

To co napisałem jest dość formalne. Powołuje się na twierdzenie o dwóch granicach. A jeśli czegoś nie rozumiesz to powiedz dokładnie czego. I pokaż swoje obliczenia.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: Jan Kraszewski »

Janusz Tracz pisze: 19 sty 2021, o 20:24Powołuje się na twierdzenie o dwóch granicach.
A nie przypadkiem o dwóch ciągach?

JK
szylvviaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 19 sty 2021, o 19:33
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: szylvviaa »

Właśnie chyba tego twierdzenia o dwóch ciągach.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: Janusz Tracz »

Jan Kraszewski pisze: 19 sty 2021, o 20:29
Janusz Tracz pisze: 19 sty 2021, o 20:24Powołuje się na twierdzenie o dwóch granicach.
A nie przypadkiem o dwóch ciągach?

JK
Ziemniak czy kartofel jedno i to samo. Ale ok mogą być ciągi.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Granica ciągu z sumą ciągu geometrycznego w liczniku

Post autor: Jan Kraszewski »

Janusz Tracz pisze: 19 sty 2021, o 22:10Ziemniak czy kartofel jedno i to samo. Ale ok mogą być ciągi.
I tu się nie zgodzę, bo w tym twierdzeniu nie ma ani jednej granicy...

JK
ODPOWIEDZ