homeomorfizm przestrzeni

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
LiczbaPi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 29 cze 2020, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 2 razy

homeomorfizm przestrzeni

Post autor: LiczbaPi »

Jak uzasadnić, że przestrzenie \(\displaystyle{ (\RR ^{n}, || \cdot ||_{n})}\) i \(\displaystyle{ (\RR , | \cdot |) ^{n} }\) są homeomorficzne?
Ostatnio zmieniony 13 sty 2021, o 22:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: homeomorfizm przestrzeni

Post autor: matmatmm »

Topologie tych przestrzeni są identyczne. Aby to uzasadnić, proponuję pokazać, że każdy zbiór bazowy jednej topologii daje się zapisać jako suma zbiorów otwartych drugiej topologii i na odwrót. Jest to standardowy warunek wystarczający na równość topologii. Czy wiesz jak wyglądają zbiory bazowe dla tych topologii?
LiczbaPi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 29 cze 2020, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 2 razy

Re: homeomorfizm przestrzeni

Post autor: LiczbaPi »

No właśnie nie bardzo.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: homeomorfizm przestrzeni

Post autor: matmatmm »

A wiesz jak się wprowadza topologię w przestrzeni metrycznej? Albo jak się wprowadza topologię produktową?
LiczbaPi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 29 cze 2020, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 2 razy

Re: homeomorfizm przestrzeni

Post autor: LiczbaPi »

Wydaje mi się, że bazą (\(\displaystyle{ \RR ^{n}, || \cdot || _{n} }\)) będą kule otwarte, np takie o wymiernych środkach i promieniach. Jeśli chodzi o tą drugą przestrzeń nie mam pojęcia i niestety nie wiem jak się wprowadza topologię produktową.
Ostatnio zmieniony 15 sty 2021, o 23:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: homeomorfizm przestrzeni

Post autor: matmatmm »

LiczbaPi pisze: 15 sty 2021, o 22:50 Wydaje mi się, że bazą (\(\displaystyle{ \RR ^{n}, || \cdot || _{n} }\)) będą kule otwarte, np takie o wymiernych środkach i promieniach.
Tak, jest to baza tej przestrzeni. Bazą jest także rodzina wszystkich kul otwartych i ta baza lepiej nadaje się do tego zadania.
Jeśli chodzi o tą drugą przestrzeń nie mam pojęcia i niestety nie wiem jak się wprowadza topologię produktową.
To powinieneś zacząć od poznania tej definicji.
ODPOWIEDZ