Udowodnij lub podaj kontrprzykład. Niech \(\displaystyle{ \det A \neq 0}\). Jeżeli \(\displaystyle{ c \in C}\) : \(\displaystyle{ \det( AB-cI)=0}\) to \(\displaystyle{ \det(BA-cI)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ A,B,I}\) są rzeczywistymi macierzami kwadratowymi \(\displaystyle{ n \times n}\) a \(\displaystyle{ I}\) jest macierzą jednostkową.
Czy mógłbym prosić o jakieś rozwiązanie tego zadania bo nie wiem jak je ruszyć.
Macierze
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 8035
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1707 razy
Re: Macierze
Dowód opiera się na wykazaniu. że wielomiany charakterystyczne iloczynów macierzy \(\displaystyle{ A\cdot B, \ \ B\cdot A }\) spełniają równość:
\(\displaystyle{ \chi_{A\cdot B} = \chi_{B\cdot A}. }\)
Dodano po 17 minutach 36 sekundach:
W tym szczególnym przypadku proszę skorzystać z założenia, że \(\displaystyle{ \det(A) \neq 0, }\) czyli istnieje macierze odwrotna \(\displaystyle{ A^{-1}, }\)
(macierz \(\displaystyle{ A }\) jest macierzą odwracalną), więc \(\displaystyle{ A^{-1}( AB)A = BA, }\) czyli macierze \(\displaystyle{ AB,\ \ BA }\) są ...?
Wielomiany charakterystyczne macierzy... są równe.
To kończy dowód twierdzenia w tym szczególnym przypadku.
Namawiam do dowodu twierdzenia o równości \(\displaystyle{ \chi_{AB}= \chi_{BA} }\) w przypadku ogólnym, gdy macierz \(\displaystyle{ A }\) nie musi być macierzą odwracalną.
\(\displaystyle{ \chi_{A\cdot B} = \chi_{B\cdot A}. }\)
Dodano po 17 minutach 36 sekundach:
W tym szczególnym przypadku proszę skorzystać z założenia, że \(\displaystyle{ \det(A) \neq 0, }\) czyli istnieje macierze odwrotna \(\displaystyle{ A^{-1}, }\)
(macierz \(\displaystyle{ A }\) jest macierzą odwracalną), więc \(\displaystyle{ A^{-1}( AB)A = BA, }\) czyli macierze \(\displaystyle{ AB,\ \ BA }\) są ...?
Wielomiany charakterystyczne macierzy... są równe.
To kończy dowód twierdzenia w tym szczególnym przypadku.
Namawiam do dowodu twierdzenia o równości \(\displaystyle{ \chi_{AB}= \chi_{BA} }\) w przypadku ogólnym, gdy macierz \(\displaystyle{ A }\) nie musi być macierzą odwracalną.