Eliminacja Gaussa

[danieluk]

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą kwadratową, nieosobliwą oraz \(\displaystyle{ x ̃}\) będzie ustalonym wektorem (np. \(\displaystyle{ x ̃ = [1, . . . , 1]T }\)). Dodatkowo niech \(\displaystyle{ b = Ax ̃}\). Rozwiązać układ równań liniowych \(\displaystyle{ Ax = b}\) metodą eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego. Obliczyć błąd względny \(\displaystyle{ \frac{||x−x ̃||2}{||x ̃||2}}\).

Dzień dobry, mam do wykonania zadanie którego treść przedstawiłem powyżej. Nie rozumiem jednak następującej części zadania: \(\displaystyle{ x ̃}\) będzie ustalonym wektorem (np. \(\displaystyle{ x ̃ = [1, . . . , 1]T}\) ). Dodatkowo niech \(\displaystyle{ b = Ax ̃}\). Oraz nie rozumiem o co chodzi z obliczeniem błędu względnego. Bardzo proszę o wyjaśnienie o co chodzi z tym wektorem i wzorem \(\displaystyle{ b = Ax ̃}\).

[janusz47]

Wskazówka

Rozwiązać układu równań \(\displaystyle{ A\vec{x} = \vec{b} }\) metodą eliminacji Gaussa z wyborem elementu głównego, dokonując rozkładu macierzy \(\displaystyle{ A = P\cdot L \cdot U. }\)

Określić błąd względny rozwiązania \(\displaystyle{ \frac{||x−x ̃||_{2}}{||x ̃||_{2}}\approx K \cdot \nu, }\) obliczając wskaźnik uwarunkowania macierzy \(\displaystyle{ A, \ \ cond(A). }\)

[danieluk]

Dziękuję za wskazówkę, jak to jednak zrobić kiedy b = Ax. X w tym wypadku jest znany.

[janusz47]

Nie rozumiem pytania. Co rozwiązywać, gdy znamy współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{X} ? }\)

[danieluk]

Jeżeli znamy współrzędne wektora \(\displaystyle{ X}\) i przykładowo macierz \(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 4& -1& 1\end{bmatrix}}\) ja wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ b}\)?

[janusz47]

Macierz jednokolumnowa (wektor) \(\displaystyle{ \vec{b} = A\cdot X. }\)

[danieluk]

Już rozumiem. Bardzo dziękuję za pomoc.