Mam policzyć kresy takiej funkcji \(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{x^{2}y^{2} }{x^{4}y +x^{4} +y^{3} +y^{2} }}\) gdzie \(\displaystyle{ y \ge |x|>0}\)
Czy poza liczeniem macierzy hessanu i jego wyznacznika gdzie jest to skomplikowane obliczeniowo istnieje jakiś sprytniejszy sposób na zrobienie tego zadania na przykład szacowniem? Ktoś mógłby podpowiedzieć?
kresy funkcji dwóch zmiennych
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Re: kresy funkcji dwóch zmiennych
Łatwo zauważyć, że
\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{\left(y+1\right)\left(x^{4}+y^{2}\right)}\le \frac{y}{2y+2}<\frac{1}{2}}\)
przy czym pierwsza nierówność wynika z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb \(\displaystyle{ x^{4}, \ y^{2}}\)
Ponadto jest
\(\displaystyle{ f\left(x,x^{2}\right)=\frac{x^{2}}{2x^{2}+2}\stackrel{x\to \infty}\longrightarrow \frac{1}{2}}\)
więc to jest kres górny \(\displaystyle{ f(x,y)}\) w podanym zbiorze (rzecz jasna, dla \(\displaystyle{ x\ge 1}\) mamy \(\displaystyle{ x^{2}\ge x}\) i dlatego dla dużych iksów możemy tak podstawić, nie wychodząc poza naszą dziedzinę). Oczywiście nie jest on osiągany.
Z drugiej strony mamy
\(\displaystyle{ f(x,x)=\frac{x^{4}}{x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{3}+x^{2}+x+1}
\stackrel{x\to \infty}\longrightarrow 0}\)
zatem kresem dolnym (z oczywistych względów nieosiągalnym) funkcji \(\displaystyle{ f}\) w podanym zbiorze jest zero.
\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{\left(y+1\right)\left(x^{4}+y^{2}\right)}\le \frac{y}{2y+2}<\frac{1}{2}}\)
przy czym pierwsza nierówność wynika z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb \(\displaystyle{ x^{4}, \ y^{2}}\)
Ponadto jest
\(\displaystyle{ f\left(x,x^{2}\right)=\frac{x^{2}}{2x^{2}+2}\stackrel{x\to \infty}\longrightarrow \frac{1}{2}}\)
więc to jest kres górny \(\displaystyle{ f(x,y)}\) w podanym zbiorze (rzecz jasna, dla \(\displaystyle{ x\ge 1}\) mamy \(\displaystyle{ x^{2}\ge x}\) i dlatego dla dużych iksów możemy tak podstawić, nie wychodząc poza naszą dziedzinę). Oczywiście nie jest on osiągany.
Z drugiej strony mamy
\(\displaystyle{ f(x,x)=\frac{x^{4}}{x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{3}+x^{2}+x+1}
\stackrel{x\to \infty}\longrightarrow 0}\)
zatem kresem dolnym (z oczywistych względów nieosiągalnym) funkcji \(\displaystyle{ f}\) w podanym zbiorze jest zero.