Sprawdzanie przynależności do przestrzeni klasy L-nieskończoność

[Szustarol]

Witam,
czy jeśli funkcja należy do klasy L-nieskończoność, to zachodzi:
\(\displaystyle{ (a) \int_{a}^{b} |f(x)|^pdx = F(x, p)_a^b }\) jest skończone dla każdego p, czy
\(\displaystyle{ (b) \lim_{p \to \infty} \int_{a}^{b} |f(x)|^pdx = \lim_{p \to \infty} F(x, p)_a^b < \infty }\)

Dla przykładu, całka:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}x^pdx = {1\over{p+1}} 2^{p+1}= {{2^{p+1}} \over {p+1}}}\)
Przyjmuje wartość skończoną dla dowolnego p, czyli według definicji (a) funkcja \(\displaystyle{ x}\) jest klasy \(\displaystyle{ L^\infty}\)
Jednak przyjmując definicję (b), granica \(\displaystyle{ \lim_{p \to \infty} {{2^{p+1}} \over {p+1}} = \infty}\), więc f nie jest klasy \(\displaystyle{ L^\infty}\)

Innym sposobem sprawdzenia z jakim się spotkałem, jest sprawdzenie, czy całka funkcji jest ograniczona, jednak tam też nie wiem, czy używać
granicy przy supremum, czy nie.

Być może to trywialne pytanie, ale nie mogę się doszukać odpowiedzi, dziękuje za pomoc.

[Janusz Tracz]

Przyjmuje wartość skończoną dla dowolnego p, czyli według definicji (a) funkcja \(\displaystyle{ x}\) jest klasy \(\displaystyle{ L^\infty}\)

To nie jest prawda. To, że całka \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}\left| f\right|^p \dd x }\) jest skończona dla każdego \(\displaystyle{ p}\) nie oznacza, że granica \(\displaystyle{ \lim_{p \to \infty } \int_{a}^{b}\left| f\right|^p \dd x }\) jest skończona. Zatem dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ p}\) funkcja \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ L^p\left( \left[ 0,2\right] \right) }\) ale funkcja ta nie należy do \(\displaystyle{ L^{\infty}\left( \left[ 0,2\right] \right) }\).

PS Analogią do tego jest stwierdzenie, że wyrażanie \(\displaystyle{ \frac{1}{n} }\) może być dowolnie małe ponad to \(\displaystyle{ \lim_{ } \frac{1}{n} =0}\) ale równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}=0 }\) rozwiązań nie ma jako takie.