Równanie logarytmiczne z parametrem

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
SemastianM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 29
Podziękował: 11 razy

Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: SemastianM »

Witam,

mam problem z równaniem. Próbowałem już wszystkiego i dalej nie wiem jak to ruszyć. Proszę o pomoc.

Zadanie: Czy możliwe jest znalezienie takich wartości \(a\) i \(x\), że \(\log_{a}(x) = a^{x}\) dla \(a>1?\)
Ostatnio zmieniony 21 lis 2020, o 23:19 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Do zapisu wyrażeń matematycznych używaj LaTeX-a oraz tagów [latex][/latex] lub komend \(\) bądź \[\].
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: JHN »

Tak, to jest możliwe...
Dla \(\displaystyle{ a=e^{1\over e}}\) jest jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=e}\), dla \(\displaystyle{ 1<a<e^{1\over e}}\) istnieją dwa rozwiązanie zmiennej \(\displaystyle{ x}\).

Zacznij od interpretacji graficznej równania... wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\). Aby równanie miało jedno rozwiązanie, wykresy muszą być styczne, czyli spełniony musi być układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} \log_a x=x \\ (\log_a x)'=(x)'\end{cases}}\). Dla mniejszych \(\displaystyle{ a}\) wykresy przetną sie dwukrotnie.

Pozdrawiam
SemastianM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 29
Podziękował: 11 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: SemastianM »

Dzięki za odpowiedź.
A możesz mi jeszcze powiedzieć skąd się wzięło \(\displaystyle{ e ^{ \frac{1}{e} } }\)?

Dodano po 3 godzinach 7 minutach 35 sekundach:
Ok. Już doszedłem to tego. Jeszcze tylko proszę o wyjaśnienie czemu się stosuje pochodna w takim momencie. Czy to jakaś reguła?
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: JHN »

SemastianM pisze: 22 lis 2020, o 14:38 ... czemu się stosuje pochodna w takim momencie. Czy to jakaś reguła?
Skoro wykresy są styczne, to m.in. pochodne są równe. Nie nazwałbym tego regułą, ale nietuzinkowym wykorzystaniem pochodnej.

Pozdrawiam
SemastianM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 29
Podziękował: 11 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: SemastianM »

No tak, wszystko jasne. Dzięki!
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: Mondo »

@JHN, mógłbyś pokazać swoje rozwiązanie? :)
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: JHN »

Mondo pisze: 22 lis 2020, o 23:19 @JHN, mógłbyś pokazać swoje rozwiązanie? :)
Ideę ogarnąłeś?
JHN pisze: 22 lis 2020, o 01:36 ...spełniony musi być układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} \log_a x=x \\ (\log_a x)'=(x)'\end{cases}}\).
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} {\ln x\over\ln a}=x \\ {1\over x\ln a}=1\end{cases}\\
\begin{cases}\ln x=x\ln a \\ 1= x\ln a\end{cases}\Rightarrow \ln x=1\iff x=e}\)

Zatem, z (ii),
\(\displaystyle{ \ln a={1\over e}\iff a=e^{1\over e}}\)

Pozdrawiam
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: Mondo »

JHN pisze: 23 lis 2020, o 01:52
Mondo pisze: 22 lis 2020, o 23:19 @JHN, mógłbyś pokazać swoje rozwiązanie? :)
Ideę ogarnąłeś?
JHN pisze: 22 lis 2020, o 01:36 ...spełniony musi być układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} \log_a x=x \\ (\log_a x)'=(x)'\end{cases}}\).
No nie bardzi właśnie jak dla mnie jeśli ma być `log_a(x) = a^x` to `a^{a^x} = x` tak więc skąd u ciebie w układzie równań `log_a(x) = x`?
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: JHN »

JHN pisze: 22 lis 2020, o 01:36 ... wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\). Aby równanie miało jedno rozwiązanie, wykresy muszą być styczne,...
W szczególności obydwa wykresy są styczne w tym samym punkcie do \(\displaystyle{ y=x}\), czyli \(\displaystyle{ \log_ax=x=a^x}\)

Pozdrawiam
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: Mondo »

Mówiąc
JHN pisze: 22 lis 2020, o 01:36 ... wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\).
masz na myśli wykresy `y = a^{a^x}` oraz `log_a(x)` ? Tutaj mam plot dla tych dwóch właśnie (jako `a` podstawiłem 10) i zdaje się, że nie są symetryczne względnem żadnej prostej zgadza się?
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: JHN »

SemastianM pisze: 21 lis 2020, o 23:06 \(\log_{a}(x) = a^{x}\) dla \(a>1?\)
JHN pisze: 22 lis 2020, o 01:36 Zacznij od interpretacji graficznej równania...
Czyli
\(\displaystyle{ y_L=\log_{a}x}\)
oraz
\(\displaystyle{ y_P=a^{x}}\)
Są to funkcje wzajemnie odwrotne.
JHN pisze: 22 lis 2020, o 01:36 wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\).
Jest to własność takich funkcji!
Mondo pisze: 25 lis 2020, o 16:02 ...masz na myśli wykresy `y = a^{a^x}` oraz `log_a(x)` ?
W którym miejscu to napisałem :?: Nota bene widzę wzór tylko jednej funkcji...
Przeczytaj, proszę, ze zrozumieniem cały wątek :!:

Kończę i pozdrawiam
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: Mondo »

Ok już rozumiem metodykę tego rozwiązania - bardzo ładne, dziekuję :D

Podobnie można także utworzyc układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} {\ln x\over\ln a}=x \\ {\frac{d}{dx}a^x = \frac{d}{dx}x} = 1 \end{cases}\\}\)

Mam jeszcze takie pytanie, po wyznaczeniu `a = e^{1/e}` podajesz, że dla przedzielu \(\displaystyle{ \displaystyle{ 1<a<e^{1\over e}}}\) istneiją dwa rozwiązania - jak to wyznaczyłeś?

Dziękuję
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: JHN »

Zinterpretuj graficznie dane równanie dla kilku wartości podstawy \(\displaystyle{ a}\), np. \(\displaystyle{ 2;\ 1,5;\ 1,2;\ \cdots}\) a sam zauważysz zależność.

Pozdrawiam
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: Mondo »

JHN pisze: 26 lis 2020, o 01:37 Zinterpretuj graficznie dane równanie dla kilku wartości podstawy \(\displaystyle{ a}\), np. \(\displaystyle{ 2;\ 1,5;\ 1,2;\ \cdots}\) a sam zauważysz zależność.

Pozdrawiam
Tak, widzę te rozwiązania patrzac równolegle na wykresy funkcji `ln_a(x)` oraz `y = x` i masz rację dla `1,1` `1,2` i kilka innych wartości spełniają to równanie. Natomiast zastanawiam się czy istenieje algebraiczna metoda znalazienia tych rozwiązań?

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ