Suma i przekrój uogólniony

[michalm08]

Niech \(\displaystyle{ A_{n} :=\{(x,y) \in \RR^{2} ; y\ge 2nx\}, n \in \NN}\). Znaleźć i naszkicować zbiory \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} A_n}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcap_{n \in \NN} A_n}\) .

pierwszy raz widze tego typu zadania i nie wiem jak je zrobic. wykladowca srednio tlumaczy i nie moge wyczytac nic produktywnego z notatek, ktoś coś?

[pawlo392]

Musisz poprawić treść.

[kerajs]

W układzie współrzędnych XOY narysuj (najlepiej różnymi kolorami):
1) zbiór opisany nierównością \(\displaystyle{ y \ge 2x}\) (czyli zbiór \(\displaystyle{ A_1}\))
2) zbiór opisany nierównością \(\displaystyle{ y \ge 4x}\) (czyli zbiór \(\displaystyle{ A_2}\))
3) zbiór opisany nierównością \(\displaystyle{ y \ge 6x}\) (czyli zbiór \(\displaystyle{ A_3}\))
.......
Teraz wskaż zbiór będący
a)sumą tych zbiorów
b) częścią wspólną tych zbiorów

PS
Jeśli zero uważasz za naturalne, to dochodzi jeszcze rysunek zbioru \(\displaystyle{ A_0}\) opisanego nierównością \(\displaystyle{ y \ge 0}\)

[edyta111]

Jak możemy zapisać te sumę i iloczyn?

[Jan Kraszewski]

W zadaniu masz "naszkicować", więc powinnaś narysować te zbiory w układzie współrzędnych.

JK

[edyta111]

Chciałabym wiedzieć dla siebie samej. Rozumiem, że \(\displaystyle{ \bigcap_{n\in \NN}A_n=\{(0, 0)\}}\), ale nie umiem zapisać sumy.

[Janusz Tracz]

Rozumiem, że \(\displaystyle{ \bigcap_{n\in \NN}A_n=\{(0, 0)\}}\)

To nie jest prawda. Zbiór \(\displaystyle{ \bigcap_{n\in \NN}A_n}\) jest dużo większy, w szczególności cała druga ćwiartka układu się tam mieści (i połowa trzeciej też). Więc zapisanie tego bez \(\displaystyle{ \bigcap_{}^{} }\) czy \(\displaystyle{ \bigcup_{}^{} }\) nie jest, aż tak trywialne* i wymaga to chwili namysłu.

* No chyba, że w taki sztuczny sposób

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}^{} A_n=\left\{ \left( x,y\right)\in \RR^2: \left( \exists n\in \NN\right) y \ge 2nx \right\} }\)
\(\displaystyle{ \bigcap_{n\in\NN}^{} A_n=\left\{ \left( x,y\right)\in \RR^2: \left( \forall n\in \NN\right) y \ge 2nx \right\} }\)

[edyta111]

Mogę prosić o wytłumaczenie dlaczego tak duża jest część wspólna? Wciąż widzę tylko ten jeden punkt.

[Janusz Tracz]

Przykładowo, gdy \(\displaystyle{ x}\) jest ujemny, a \(\displaystyle{ y}\) dodatni (czyli dla całej \(\displaystyle{ 2}\) ćwiartki) to dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ y \ge 2nx}\) zatem taki punkt \(\displaystyle{ \left( x,y\right) }\) należy do każdego ze zbiorów \(\displaystyle{ A_1,A_2,A_3,...}\) zatem należy do ich części wspólnej.

[Jan Kraszewski]

Ja uważam, że lepiej patrzeć na to rysunkowo. Te zbiory to półpłaszczyzny wyznaczone przez pewne proste przechodzące przez zero i wraz ze zmianą \(\displaystyle{ n}\) te półpłaszczyzny obracają się.

JK