Ciągłość funkcji z definicji

[Gerid]

Dzień dobry chciałbym się dowiedzieć jak z definicji udowodnić ciągłość funkcji na całej dziedznie przykładowo dla
\(\displaystyle{ x^2}\) , bo np. w pukncie 0 wystarczy delte przyjąc pierwiastek z epsilon , ale jak udowodnic to dla całej dziedziny? z góry dziękuje

[Tmkk]

Dokłądnie tak samo, tylko trzeba trochę więcej pokombinować.
Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i szukamy \(\displaystyle{ \delta > 0}\) takiej, że \(\displaystyle{ |x-x_0| < \delta}\) implikuje \(\displaystyle{ |x^2 - x_0^2| < \varepsilon}\).

Póki co dam podpowiedź (jak ja bym to robił, pewnie można na wiele innych sposobów), spróbuj sam : )

\(\displaystyle{ |x^2-x_0^2| = |x-x_0||x+x_0| = |x-x_0||(x-x_0)+2x_0| \le |x-x_0|(|x-x_0| + 2|x_0|)}\).

Na sam koniec użyłem nierówności trójkąta.

[Gerid]

A czy delte można wyrazić tylko poprzez epsilon czy delta może być również wyrażona poprzez x i x0?

[Tmkk]

Delta móże być wyrażona przez \(\displaystyle{ \varepsilon}\) oraz \(\displaystyle{ x_0}\), bo te rzeczy są ustalone (pokazujemy ciągłość w ustalonym punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) i z dowolności tego punktu, dostaniemy ciągłość wszędzie). Zdecydowanie nie może być wyrażona przez \(\displaystyle{ x}\), bo kwantyfikatory w definicji mówią "istnieje \(\displaystyle{ \delta}\) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\)".

Właśnie stąd to dziwne rozbicie i zastosowanie nierówności trójkąta. Tak to byśmy sobie wzięli \(\displaystyle{ \delta = \frac{\varepsilon}{|x_0+x|}}\) i już, ale tak nie można.

[Gerid]

Mógłbyś to rozpisać bo nie mogę tego rozwiązać

[Tmkk]

A w którym momencie się zacinasz?

[janusz47]

Definicja funkcji ciągłej(*)

Funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ p, }\) gdy \(\displaystyle{ p }\) jest argumentem funkcji i zachodzi jedna z dwóch możliwości:

\(\displaystyle{ (1) \ \ p }\) nie jest punktem skupienia dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f; }\)

\(\displaystyle{ (2) \ \ p }\) jest punktem skupienia dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f, }\) która ma granicę w punkcie \(\displaystyle{ p }\) i ta granica jest równa wartości funkcji w punkcie \(\displaystyle{ p: \lim_{x \to p} f(x) = f(p). }\)


Twierdzenia charakteryzujące ciągłość

Funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ p, }\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu \(\displaystyle{ (x_{n}) }\), takiego, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} x_{n} = p, }\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} f(x_{n}) = f(p) }\) (warunek Heinego).

Funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ p }\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej \(\displaystyle{ \varepsilon }\) istnieje liczba \(\displaystyle{ \delta > 0, }\) taka, że jeśli \(\displaystyle{ |x-p |< \delta,}\) to \(\displaystyle{ | f(x) - f(p)|< \varepsilon }\) (warunek Cauchy'ego).

Jeśli mamy udowodnić (sprawdzić) ciągłość funkcji na przykład \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR_{+} \cup \{0\} }\) określonej wzorem \(\displaystyle{ f(x) = x^2 }\) to możemy skorzystać z definicji ciągłości lub twierdzeń charakteryzujących ciągłość.

Każda liczba rzeczywista \(\displaystyle{ p\in \RR }\) jest punktem skupienia dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f(x). }\)

Sprawdzenie warunku Heinego ciągłości jest trywialne.

Sprawdzimy warunek Cauchy'ego.

Mamy więc dla każdego punktu \(\displaystyle{ p \in \RR, \ \ f(p) = p^2 }\) i


\(\displaystyle{ | x^2 - p^2|= |(x-p)^2 + 2p(x-p)| = |x- p|^2 +2|p||x- p| < \varepsilon }\)

Stąd jeśli tylko

\(\displaystyle{ |x - p| < \sqrt{|p^2| +\varepsilon} - |p| = \delta(\varepsilon, p) }\)

to

\(\displaystyle{ |x^2 - p^2| < \varepsilon, }\)

co mieliśmy udowodnić.

Można też przedstawić funkcję \(\displaystyle{ f(x) = x^2 }\) jako iloczyn funkcji \(\displaystyle{ x \cdot x }\) i skorzystać z twierdzenia o ciągłości funkcji "identyczność", (która jest ciągła w każdym punkcie prostej) oraz ciągłości iloczynu funkcji ciągłych.

(*) Ta definicja ciągłości funkcji pochodzi od Pana dr Michała Krycha z UW.