Zbiory potęgowe - dowody

[Asiasx]

Czy teza ogólna jest prawdziwa? Jeśli tak - przeprowadź dowód, jeśli nie - podaj kontrargument.

1. Dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A, B}\) zachodzi \(\displaystyle{ \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A\cap B) }\)
Mój dowód:
\(\displaystyle{ \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \left\{ x: x \in \mathcal{P}(A) \wedge x \in \mathcal{P}(B) \right\} = \left\{ x:x \subseteq A \wedge x \subseteq B \right\} =\left\{ x:x \subseteq A \cap B\right\} =\left\{ x:x \in \mathcal{P}(A \cap B) \right\} = \mathcal{P}(A\cap B)
}\)
Pytanie, czy jest poprawny...

2. Dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A, B}\) zachodzi \(\displaystyle{ \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A\cup B) }\)
Czy można zrobić przez analogię jak wyżej i też będzie prawdziwe?

3. Dla dowolnych rodzin zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{A} , \mathcal{B}}\), jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{P}(\mathcal{A}) \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{B}) }\), to \(\displaystyle{ \bigcup \mathcal{A} \subseteq \bigcup \mathcal{B}}\)
I tutaj zupełnie nie wiem, od czego zacząć. Jakieś wskazówki?

[Dasio11]

1. Jest poprawny.
2. Spróbuj, to zobaczysz.
3. Zacznij od wykazania, że jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{P}(\mathcal{A}) \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{B})}\), to \(\displaystyle{ \mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}}\).

[Asiasx]

1. Dziękuję za sprawdzenie.
2. \(\displaystyle{ \mathcal{P} (A) \cup \mathcal{P} (B) = \left\{ x:x \in \mathcal{P} (A) \vee x \in \mathcal{P}(B) \right\} = \left\{ x:x \subseteq A \vee x \subseteq B\right\} = \left\{ x:x \subseteq A \cup B \right\} = \mathcal{P} (A \cup B) }\)
Jest okej?

3. Dobrze, mam ten dowód jeszcze z zajęć, czyli potem z def.:
\(\displaystyle{ \mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} \Leftrightarrow \forall {x} (x \in \mathcal{A} \Rightarrow x \in \mathcal {B} )
}\)

Skoro \(\displaystyle{ x \in \mathcal{A} \Rightarrow x \in \bigcup \mathcal{A} }\) oraz \(\displaystyle{ x \in \mathcal{B} \Rightarrow x \in \bigcup \mathcal{B} }\)

Czy tutaj mogę już wnioskować tezę? Nie wiem, jak to ładnie zapisać.

[Dasio11]

2. Nie jest okej - uzasadnij dokładniej każde przejście. Dodatkowo sugeruję, żebyś zrobił to samo w punkcie 1, bo rozpisanie przez Ciebie przykładu z sumą wskazuje na to, że poprzedni przykład udał Ci się przypadkiem.

3. Zupełnie nie. Po pierwsze przypomnij sobie, z jakich elementów składa się zbiór \(\displaystyle{ \bigcup \mathcal{A}}\). Po drugie skoro do wykazania jest zawieranie \(\displaystyle{ \bigcup \mathcal{A} \subseteq \bigcup \mathcal{B}}\), to powinieneś ustalić dowolny element lewej strony, a później korzystając z założenia udowodnić, że ten element należy również do prawej strony.