Niezależność zmiennych losowych.

[NogaWeza]

Cześć

Przerabiam sobie książkę z prawdopodobieństwa, aby rozruszać szare komórki i mam problem z pewnym zadaniem.

Wiadomo, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}(Z) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{E}(Z^2) = 1}\). Zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y-X, Z-Y}\) są niezależne. Czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Z}\) mogą być niezależne?

Niestety nie za bardzo wiem nawet jak się zabrać za takie zadanie. W przypadku, gdy mam podane konkretne rozkłady prawdopodobieństwa umiem sprawdzić niezależność takich zmiennych, ale tutaj trzeba się chyba bardziej pogimnastykować.

Będę wdzięczny za wskazówki.

[matmatmm]

Zauważmy, że (korzystając z niezależności) \(\displaystyle{ D^2(Y-X)+D^2(X)=D^2(Y)}\), skąd wobec \(\displaystyle{ D^2(X)=D^2(Y)=1}\) mamy \(\displaystyle{ D^2(Y-X)=0}\). Zatem funkcja \(\displaystyle{ Y-X}\) jest prawie wszędzie stała (nawet równa zero), a więc sigma-ciała \(\displaystyle{ \sigma(X),\sigma(Y)}\) różnią się jedynie o zbiory miary \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\). Stąd i z założenia o niezależności \(\displaystyle{ X,Z-Y}\) można wywnioskować, że zmienne losowe \(\displaystyle{ Y,Z-Y}\) są niezależne. Zatem \(\displaystyle{ D^2(Z-Y)+D^2(Y)=D^2(Z)}\) i wobec \(\displaystyle{ D^2(Y)=D^2(Z)=1}\) mamy \(\displaystyle{ D^2(Z-Y)=0}\), a więc funkcja \(\displaystyle{ Z-Y}\) jest prawie wszędzie stała. Wtedy \(\displaystyle{ Z-X=Z-Y+Y-X}\) także jest prawie wszędzie stała, a więc sigma-ciała \(\displaystyle{ \sigma(X),\sigma(Z)}\) różnią się jedynie o zbiory miary \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\).

Przypuśćmy teraz nie wprost, że \(\displaystyle{ X,Z}\) są niezależne. Stąd i z tego co pokazaliśmy wcześniej wnioskujemy, że w sigma-ciałach \(\displaystyle{ \sigma(X),\sigma(Z)}\) nie ma żadnego zbioru o mierze innej niż \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Z}\) są prawie wszędzie stałe. Jednak daje to sprzeczność z założeniem np. \(\displaystyle{ D^2X=1}\).

Mam nadzieję, że jest to poprawne.

Dodano po 53 minutach 43 sekundach:

Zatem funkcja \(\displaystyle{ Y-X}\) jest prawie wszędzie stała (nawet równa zero), a więc sigma-ciała \(\displaystyle{ \sigma(X),\sigma(Y)}\) różnią się jedynie o zbiory miary \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\).

Teraz przekminiłem, że czerwony fragment nie musi być prawdą. Jednak prawdą będzie:

Dla dowolnego zbioru borelowskiego \(\displaystyle{ B}\):

\(\displaystyle{ \{X\in B\}\Delta\{Y\in B\} \subset \{X\neq Y\} }\)

Stąd dla każdego zdarzenia \(\displaystyle{ E\in\sigma(X)}\) istnieje zdarzenie \(\displaystyle{ F\in\sigma(Y)}\) takie, że \(\displaystyle{ \PP(E\Delta F)=0}\), a to także wystarcza do stwierdzenia niezależności zmiennych \(\displaystyle{ Y,Z-Y}\).

Podobną poprawkę trzeba zrobić w dalszej części dowodu co do sigma-ciał \(\displaystyle{ \sigma(X),\sigma(Z)}\).

[NogaWeza]

Dzięki. Czy trójkącik to różnica symetryczna?

[matmatmm]

Tak, jasne.