Granica ciągu określonego rekurencyjnie

[tomika92]

W ogóle nie miałam takiego tematu, ale na zadanie są takie przykłady.
Potrzebuje jednego przykładu obliczonego od początku do końca, żeby zrozumieć co mam zrobić po kolei.
\(\displaystyle{ a _{1} = \frac{3}{2}, a _{n+1} = \sqrt{3a _{n}-1 }}\)
Tyle co widzę to że \(\displaystyle{ a _{2} = \sqrt{3\cdot \frac{3}{2} -1} = \sqrt{ \frac{7}{2} }}\) więc będzie rosnący.

[a4karo]

Z faktu,że `a_2>a_1` trudno wyciągać wnioski o monotoniczności ciągu. Spróbuj pokazać indukcyjnie, że `a_n\le 4`. Zbadaj dla jakich `a_n` róznica `a_{n+1}-a_n>0`

[tomika92]

Z faktu,że `a_2>a_1` trudno wyciągać wnioski o monotoniczności ciągu. Spróbuj pokazać indukcyjnie, że `a_n\le 4`. Zbadaj dla jakich `a_n` róznica `a_{n+1}-a_n>0`

Skąd wzięło się to 4?
Jeśli dobrze rozumiem wychodzi z tego:
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n>0}\)
\(\displaystyle{ a _{n_1}= \frac{(3+ \sqrt{5} )}{2}\\
a _{n_2} = \frac{(3- \sqrt{5} )}{2}}\)

[a4karo]

Czwórkę wziąłem z powietrza. Pop rostu dlatego, że łatwo to pokazać.

Czy zechciałabyś jakoś skomentować ostatnie trzy linijki?

[tomika92]

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n>0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3a _{n}-1 }-a _{n} >0}\)
Podniosłam do potęgi obie strony
\(\displaystyle{ 3a _{n}-1-a_{n} ^{2} >0}\)
Policzyłam delte.

Serio, jest mi ciężko bo miałam 8 lat przerwy w matmie, a wróciłam do tego na jakiś czas i jakoś muszę przetrwać. Nie pamiętam masy rzeczy i próbuję się wdrożyć. Nie dziwne, że potrzebuje, żeby ktoś mi po prostu pokazał czasami co mam zrobić.

[a4karo]

Ale nie odpowiedziałaś na pytanie kiedy zachodzi nierówność. A to jest tu kluczowe. Spróbuj

[tomika92]

dla \(\displaystyle{ a_{n} \in \left( \frac{3- \sqrt{5} }{2}, \frac{3+ \sqrt{5} }{2}\right)}\)

[a4karo]

Ok. Startujesz z tego właśnie przedziału. Jeżeli teraz pokażesz, że każdy wyraz ciągu nie przekroczy prawego krańca, to będziesz wiedzieć, że ciąg jest zbieżny. Spróbuj

[tomika92]

\(\displaystyle{ \left| \sqrt{3a _{n}-1 } - \frac{3+ \sqrt{5} }{2} \right|= \varepsilon}\)?
Nie wiem czy tego mam użyć.

[a4karo]

Nie. Pokaz indukcyjnie, że `a_n<\frac{3+\sqrt5}{2} `

[tomika92]

Serio nie wiem jak to zrobić.

[a4karo]

Wiesz na czym polega indukcja?

[tomika92]

Pierwszy raz usłyszałam to pojęcie w odniesieniu do matematyki jakieś 2 tygodnie na wykładzie. Niby wiem, ale co niby w takim przypadku mam pokazać

\(\displaystyle{ a_{n+1} < \frac{3+ \sqrt{5} }{2}}\)

[a4karo]

Masz pokazać po pierwsze, że pierwszy wyraz spełnia ten warunek.
A potem to, że jeżeli dla pewnego `n`, `a_n` spełnia ten warunek, to `a_{n+1}` też.
Wtedy, na mocy zasady indukcja będziesz wiedzieć, z że nierówność zachodzi dla wszystkich wyrazów ciągu.

[tomika92]

No tak, pierwszy wyraz spełnia
\(\displaystyle{ \frac{3}{2} < \frac{3+ \sqrt{5} }{2}}\)

Szczerze mówiąc dalej nie wiem co mam zrobić. Nie mógłbyś po prostu mi pokazać jak to policzyć bo już sama nie wiem co robię.

Napisałam tylko i wyliczyłam
\(\displaystyle{ \sqrt{3a _{n}-1 } < \frac{3+ \sqrt{5} }{2}}\)
Ale to kręcenie się w kółko więc pewnie też jest źle.