Rozkład warunkowy (ciągła i dyskretna zmienna losowa)

[nejfan]

Bardzo proszę o pomoc z rozwiązaniem zadania.

TREŚĆ:
Niech zmienna Losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Poissona z paramterem \(\displaystyle{ 1}\). Niech \(\displaystyle{ Y|X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 1+X}\). Wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ X|Y}\).

ROZWIĄZANIE:
Wiemy, że :
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{k!e} =p_k}\)

\(\displaystyle{ f_{Y|X=k}(y,k)=(1+k)e^{-(1+k)y} = f_k(y)}\)

Chcemy policzyć:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k|Y=y)=\frac{f_k(y)\cdot p_k}{ \sum_{n=0}^{ \infty }f_n(y)p_n} }\)

Po podstawieniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k|Y=y)=\frac{e^{-(1+k)y}\frac{1+k}{k!}}{ \sum_{n=0}^{ \infty }e^{-(1+n)y}\frac{1+n}{n!}} }\)

Jednak nie wiem co dalej i czy powyższe rozumowanie jest poprawne

[janusz47]

Rozumowanie poprawne.

Mianownik możemy zapisać w postaci

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }e^{-(1+n)y}\frac{1+n}{n!} = 2e^{1- (n+1)y}. }\)

Dzielimy licznik przez mianownik, otrzymując rozkład:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k|Y=y)= \frac{1+k}{2k!}e ^{(n-k)y -1}.}\)

[nejfan]

Mianownik możemy zapisać w postaci

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }e^{-(1+n)y}\frac{1+n}{n!} = 2e^{1- (n+1)y}. }\)

Mam pytanie. W jaki sposób został policzony ten szereg?

I czy cały wynik nie powinno się dać przedstawić jako przykład konkretnego rozkładu?

[janusz47]

Jest to przykład rozkładu wykładniczego należącego do pewnej rodziny rozkładów wykładniczych.

Rozpisujemy szereg na sumę dwóch szeregów i stosujemy wzór na szereg \(\displaystyle{ exp.}\)

[a4karo]

Rozumowanie poprawne.

Mianownik możemy zapisać w postaci

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }e^{-(1+n)y}\frac{1+n}{n!} = 2e^{1- (n+1)y}. }\)

Dzielimy licznik przez mianownik, otrzymując rozkład:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k|Y=y)= \frac{1+k}{2k!}e ^{(n-k)y -1}.}\)

Trochę bez sensu te wzorki.

[nejfan]

Po policzeniu dostaje sumę szeregu:
\(\displaystyle{ e^{-y+e^{-y}}(e^2+1)}\)

Po podstawieniu ostatecznie otrzymuje:
\(\displaystyle{ \frac{1+k}{k!(e^2+1)}e^{-(ky+e^{-y})}}\)

Natomiast czy na podstawie tego mogę stwierdzić że jest to rozkład wykłądniczy?

[janusz47]

To nie jest rozkład wykładniczy.

[nejfan]

Czy w takim razie popełniam gdzieś błąd? Nie wiem jaki rozkład będzie tutaj pasował.