I doszłam do momentu, gdzie: \(\displaystyle{ a^2=2a^2+2(b-a)^2-2a(b-a)(1-\frac{t^2}{2})-2a(b-a)\frac{t}{2}-2ta\sqrt{4b^2-a^2}\sqrt{1-\frac{1}{4}t^2}}\)
Podziel obustronnie równanie przez \(\displaystyle{ b^2}\). Równanie powinno zależeć tylko od zmiennej \(\displaystyle{ t}\).
Dobra, jest duży progres. Dostałam równanie \(\displaystyle{ 2t^4-2t^3-7t^2+6t-2=0}\). Wierzę, że można z tym coś zrobić (albo doszukam się błędu w obliczeniach, którego chwilowo nie widzę), ale może ktoś z Was przerabiał to zadanie i może udzielić informacji czy ten wielomian jest chociażby poprawny?
matmatmm pisze: ↑24 paź 2020, o 20:57
Wygląda na to, że masz błąd, bo mnie wyszło równanie \(\displaystyle{ t^3-3t+1=0}\) i ten wynik jest raczej dobry, bo doliczyłem zadanie do końca.
Dzięki, faktycznie gdzieś tam po drodze się wkradł błąd. Mam teraz to samo.
W jaki sposób przekształciłeś ten wielomian? Rozwiązania, które dostaję są dosyć.. dziwne? I mam wrażenie, że znowu popełniam błędy. Sprawdzałam na np. symbolabie i tam z kolei znowu są inne rozwiązania niż te moje.
Naturalnym sposobem byłoby rozwiązanie równania \(\displaystyle{ t^3-3t+1=0}\). Jest to jednak wielomian trzeciego stopnia, którego rozwiązania nie wyrażają się jawnym wzorem bez użycia liczb zespolonych (mimo, że pierwiastki są rzeczywiste).
Sposób na to jest następujący:
Po pierwsze sprawdzimy, że liczba \(\displaystyle{ t=2\sin 10^{\circ}}\) jest pierwiastkiem. Podstawiamy więc tę wartość do równania:
Zastosowałem tutaj wzór na sinus potrojonego kąta.
Po drugie trzeba sprawdzić, że jest to jedyny pierwiastek w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), gdyż \(\displaystyle{ t=\frac{a}{b}\in (0,1)}\).
Analiza pochodnej funkcji o wzorze \(\displaystyle{ f(t)=t^3-3t+1}\) wskazuje, że \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle malejąca w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\).
Dobrze, wszystko jasne i klarowne. Ale załóżmy że nie wiemy że to tego sinusa mamy podstawić. Jak otrzymać takie rozwiązanie nie zakładając... rozwiązania?
No cóż, my nie zakładamy rozwiązania. Po prostu zgadliśmy rozwiązanie, co wcale nie sprawia, że jest to w jakiś sposób błędne albo niepełne.
Pytanie jak zgadnąć to już inna kwestia. Pewnie nie zawsze się da. Tutaj wiedziałem, że ma wyjść \(\displaystyle{ 10^{\circ}}\). Wiedziałem też, że liczby \(\displaystyle{ \sin 10^{\circ}}\) nie da się jawnie zapisać, a jedynie równaniem trzeciego stopnia.
Dziękuję za wszelkie wskazówki i podpowiedzi (a wręcz odpowiedzi). Będę jeszcze próbować zrobić coś z tym, żeby to rozwiązanie 'wyszło' a nie zostało odgadnięte
matmatmm pisze: ↑27 paź 2020, o 11:15
Można wziąć inaczej. Ja wziąłem tak, żeby lewa i prawa strona była równa polu trójkąta \(\displaystyle{ AED}\).
To mogłabym Cię jeszcze prosić o rozpisanie tego równania dla większego laika? Próbuję to rozpisać, żeby zrozumieć dlaczego pole \(\displaystyle{ AED}\) równa się takiej liczbie a nie innej, ale nie mogę dojść do Twojego \(\displaystyle{ \frac{a}{b}[AEC]}\) (bo dobrze rozumiem, że tutaj to \(\displaystyle{ [AEC]}\) to pole trójkąta \(\displaystyle{ AEC}\))?
Trzeba zauważyć, że trójkąty \(\displaystyle{ AED}\) i \(\displaystyle{ AEC}\) mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka \(\displaystyle{ E}\). Stąd stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości podstaw \(\displaystyle{ \frac{AD}{AC}=\frac{a}{b}}\).
matmatmm pisze: ↑29 paź 2020, o 14:16
Tak, \(\displaystyle{ [AEC]}\) oznacza pole.
Trzeba zauważyć, że trójkąty \(\displaystyle{ AED}\) i \(\displaystyle{ AEC}\) mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka \(\displaystyle{ E}\). Stąd stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości podstaw \(\displaystyle{ \frac{AD}{AC}=\frac{a}{b}}\).
I jaki związek ma to z trójkątem \(\displaystyle{ ABC}\), który jest wspomniany w kolejnym kroku? Czy też korzystamy z zależności związanej z jego wysokością?