Kres górny wyrażenia

[Bitinful]

Witam, muszę wyznaczyć kres górny wyrażenia (w liczbach rzeczywistych)

\(\displaystyle{ \left|1-\sqrt{2\pi}we^{\frac{w^2}{2}}(1-\Phi(w))\right|
\left(w\Phi(w)+\frac{e^{-\frac{w^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\right) + \left|1+\sqrt{2\pi}we^{\frac{w^2}{2}}\Phi(w) \right| \left(-w(1-\Phi(w))+\frac{e^{-\frac{w^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\right),}\)

gdzie \(\displaystyle{ \Phi(w)}\) jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Wiem, że wynik to \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{\pi}}}\) dla \(\displaystyle{ w=0,}\) jednak nie wiem jak do tego dojść.

Proszę o pomoc

[matmatmm]

W obliczeniach wyszło mi, że to kres dolny jest przyjęty dla \(\displaystyle{ w=0}\). Mam nadzieję, że moje rozumowanie jest poprawne.

Zauważmy, że nasze wyrażenie jest równe:

\(\displaystyle{ \left|1-\frac{w}{\phi'(w)}(1-\phi(w))\right|\left(w\phi(w)+\phi'(w)\right)+\left|1+\frac{w}{\phi'(w)}\phi(w)\right|\left(-w+w\phi(w)+\phi'(w)\right)=}\)\(\displaystyle{ =\frac{\left|\phi'(w)-w(1-\phi(w))\right|}{\phi'(w)}\left(w\phi(w)+\phi'(w)\right)+\frac{\left|\phi'(w)+w\phi(w)\right|}{\phi'(w)}\left(-w+w\phi(w)+\phi'(w)\right)}\)

Sprawdzimy, że wyrażenia pod modułami są dodatnie. W tym celu oznaczmy \(\displaystyle{ f(w)=\phi'(w)-w(1-\phi(w))}\). Wówczas

\(\displaystyle{ f'(w)=\phi''(w)-(1-\phi(w))-w(-\phi'(w))=-w\phi'(w)+\phi(w)-1+w\phi'(w)=\phi(w)-1<0}\)
a więc funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest malejąca na całej prostej, a ponadto

\(\displaystyle{ \lim_{w\to\infty}w(1-\phi(w))=\lim_{w\to\infty}\frac{1-\phi(w)}{\frac{1}{w}}=\lim_{w\to\infty}\frac{-\phi'(w)}{\frac{-1}{w^2}}=\lim_{w\to\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}w^2e^{-\frac{w^2}{2}}=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{w\to\infty}f(w)=\lim_{w\to\infty}\phi'(w)-w(1-\phi(w))=\lim_{w\to\infty}\phi'(w)-\lim_{w\to\infty}w(1-\phi(w))=0}\)

Podobnie dowodzi się dodatniość wyrażenia pod drugim modułem. Po opuszczeniu modułów widzimy, że wyjściowe wyrażenie jest równe

\(\displaystyle{ \frac{2}{\phi'(w)}\left(w\phi(w)+\phi'(w)\right)\left(w\phi(w)+\phi'(w)-w\right)}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ g(w)=\left(w\phi(w)+\phi'(w)\right)\left(w\phi(w)+\phi'(w)-w\right)}\).
Obliczamy pochodną funkcji \(\displaystyle{ g}\) (jednocześnie stosując równość \(\displaystyle{ \phi''(w)=-w\phi'(w)}\)):

\(\displaystyle{ g'(w)=2w\phi(w)(1-\phi(w))+\phi'(w)(2\phi(w)-1)}\)

Z postaci funkcji \(\displaystyle{ g'}\) widać, że jest ona ujemna dla ujemnych argumentów, dodatnia dla dodatnich argumentów oraz \(\displaystyle{ g'(0)=0}\).
Zatem funkcja \(\displaystyle{ g}\) przyjmuje najmniejszą wartość w zerze, a oczywiście funkcja \(\displaystyle{ \phi'}\) przyjmuje największą wartość w zerze. Stąd szukany kres dolny jest przyjęty w zerze.

[Bitinful]

Bardzo dziękuję za odpowiedź! Idea z zamianą \(\displaystyle{ \sqrt{2\pi}e^{ \frac{w^2}{2} }}\) na \(\displaystyle{ \frac{1}{\Phi '(w)} }\) okazała się kluczowa. Znałem tę zależność, ale nie wpadłem na to, żeby ją tutaj zastosować. Dokładnie przeanalizowałem całe Twoje przekształcenia, i znalazłem drobną pomyłkę, gdyż pochodna \(\displaystyle{ g'(w)=2w\Phi(w)(\Phi(w)-1)+\Phi '(w)(2\Phi(w)-1)}\) i to właśnie wpływa na to, że jest to jednak kres górny a nie dolny. Zamiast liczyć pochodną funkcji \(\displaystyle{ g(w)}\) trzeba policzyć pochodną całości, tj. pochodną \(\displaystyle{ \frac{1}{\Phi '(w)} \left( w\Phi(w) + \Phi '(w) \right)\left(w\Phi(w) + \Phi '(w) - w \right). }\) Trochę to utrudnia wyznaczanie przedziałów monotoniczności, ale na szczęście udało mi się to dokończyć Jeszcze raz bardzo dziękuję, uratowałeś mnie przy dwóch problemach, których bez pomocy bym nie rozwiązał